Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

При r = r0 обе формулы дают одинаковое значение напряженности:

H2 = 2i = 2 Э . r0

Таким образом, H внутри проводника прямо пропорционально r, вне проводника – обратно пропорционально r. При r = r0 напряженность магнитного поля разрыва не терпит.

Характер зависимости B(r) вне проводника, т. е. при r > r0 будет такой же, как и для напряженности. Найти в явном виде функцию B(r) для точек внутри провода нельзя, так как нет аналитической зависимости между B и H, но, пользуясь графиком рис. 107, можно найти значения индукции в определенных точках:

График B(r) (рис. 108) для точек внутри проводника оказывается идентичен графи- ку B(H). При r = r0 индукция скачком меняется от 8400 Гс (внутри проводника) до 2 Гс (вне его).

Рис. 108.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ «ФИЗИКА».

ЭЛЕКТРОСТАТИТКА

I. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ

Силовая характеристика поля – напряженность – является векторной величиной, оп- ределяемой выражением E = F/q, где F – сила, описывающая действие поля на пробный заряд q, внесенный в данную точку поля. Направление вектора Е совпадает с направ- лением силы, описывающей действие поля на положительный пробный заряд.

Энергетическая характеристика поля – потенциал – является скалярной величиной. Потенциал φ связан с напряженностью поля соотношениями:

В формуле (1) φB – потенциал в точке В. Интегрирование проводится от точки В до точки K, в которой потенциал принят равным нулю (начало отсчета потенциала). Этот ин- теграл численно равен работе, совершаемой полем при перемещении единичного по- ложительного заряда из точки B в точку K.

Разность потенциалов между точками 1 и 2 не зависит от выбора точки нулевого

(dr в формулах (1) и (3) – элементарное перемещение).

Дифференциальная связь между потенциалом и напряженностью в координатной форме записи (декартовы координаты) имеет вид:

В случае плоской симметрии поля, когда потенциал зависит только от одной коор- динаты, например, x

В случае центральной (сферической) или осевой (цилиндрической) симметрии поля удобнее пользоваться сферическими или цилиндрическими координатами, в которых потенциал окажется зависящим только от одной координаты – радиуса-вектора r. Тогда

Знак «минус» во всех формулах (2) показывает, что в направлении вектора E по- тенциал всегда убывает.

В поле, созданном точечным зарядом Q, как следует из закона Кулона (105),

и потенциал точки такого поля, рассчитанный по формулам (1) (начало отсчета потен- циала в бесконечности),

В формулах (4) и (5) r – расстояние от заряда Q до рассматриваемой точки поля, ε0 = 8,85 · 10-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Согласно принципу суперпозиции для поля, создаваемого системой дискретных точечных зарядов,

где Ei и φi, соответственно, напряженность и потенциал данной точки поля созданного точечным зарядом Qi.

Для поля, созданного системой непрерывно распределенных зарядов (заряженное

Обозначение Q указывает, что берется определенный интеграл по всему заряженному телу, создающему поле; dE = dQ/4πε0r2, dφ = dQ/4πε0r, где dQ – заряд бесконечно мало- го элемента заряженного тела; r – расстояние от этого элемента до рассматриваемой точки.

Если заряд распределен по объему тела (что возможно только в случае, если заря- женное тело не является проводником), то dQ = ρdv, где ρ – объемная плотность заряда, dv – элементарный объем, заряд которого можно считать точечным. Если заряд распре- делен по поверхности тела, то dQ = σdS, где σ – поверхностная плотность заряда, где dS

– элементарная площадка, заряд которой можно считать точечным. В некоторых случа- ях (например, заряженная нить, заряженное тонкое кольцо и т. п.) удобно пользоваться линейной плотностью заряда τ, тогда dQ = τdl, где dl – элементарный отрезок, заряд ко- торого можно считать точечным.

Если система зарядов и создаваемое ими поле обладают определенной симметрией (плоской, сферической или осевой), напряженность поля проще (а в определенных слу- чаях необходимо) рассчитать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса для вакуума

где S – замкнутая поверхность специально выбранной формы, проведенная через точку,

в которой требуется найти напряженность; åQ – алгебраическая сумма зарядов, ох-

ваченных поверхностью интегрирования.

Силу, с которой поле действует на заряд q, внесенный в него, рассчитывают по

формуле

Работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 рассчи-

Задача 1.1. Два точечных заряда Q1 = + 4 · 10-8 Кл и Q2 = – 6 · 10-8 Кл находятся на расстоянии r0=10 см друг от друга. Найти: 1) положение точки (или точек), в которой напряженность поля равна нулю, и потенциал этой точки; 2) положение точки на пря- мой соединяющей заряды Q1 и Q2 и лежащей между ними, потенциал которой ранен нулю, и напряженность поля в этой точке; 3) имеются

Рис. 1.1.

ли другие точки поля, потенциал которых равен нулю?

Р е ш е н и е . Рассматривается поле двух точечных нарядов, разных по величине и знаку.

Если напряженность поля, создаваемого каждым из зарядов, соответственно, E1 и E2, то по принципу суперпозиции в любой точке результирующая напряженность поля

Это условие означает, что искомая точка A может лежать только на прямой, проходя- щей через заряды Q1 и Q2, то есть на оси x вне зарядов. Искомая точка не может нахо- диться на оси x между зарядами (точка B), так как E1 и E2 в этой точке направлены в одну сторону и E1 + E2 ≠ 0 (рис. 1.1). В любой другой точке векторы E1 и E2 направле- ны под углом друг к другу и E1 + E2 ≠ 0. Из (11) следует, что напряженности поля, за- данного каждым из зарядов в искомой точке A равны по модулю:

Для любой точки, лежащей на оси x (начало координат в точке, где находится заряд

причем написанные выражения справедливы для любых значений x. Подставляя эти выражения в (12), получим

Вид последнего выражения показывает, что здесь правомерна подстановка значе- ний зарядов и расстояний в любой системе единиц измерений. Подстановка зарядов, выраженных в кулонах, и r0 в сантиметрах после приведения к общему знаменателю дает следующее квадратное уравнение относительно x:

x 2 + 40x − 200 = 0 .

Отсюда:

x1 = – 44,5 см; x2 = + 4,5 см.

Первый корень уравнения дает точку A, лежащую на расстоянии 44,5 см слева от заряда Q1. Второй корень дает точку, лежащую между зарядами Q1 и Q2. Однако в этой точке (например, точка B) векторы E1 и E2 направлены в одну сторону, следовательно,