Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

E1 + E2 ≠ 0, то есть второй корень нужно отбросить. Таким образом, существует только одна точка поля точка A, удовлетворяющая условию первого вопроса задачи.

Потенциал этой точки может быть также рассчитан методом суперпозиции

ваемой точки r1 = |x1|, расстояние от заряда Q2 до рассматриваемой точки r2 = r0 + |x1|.

Тогда

Подстановка числовых значений (здесь расстояние должно быть выражено в мет- рах) дает:

ϕ(x1 ) = −1800 В.

Положение точки, в которой потенциал результирующего поля равен нулю (второй вопрос задачи), может быть найдено в соответствии с принципом суперпозиции. Из ус- ловия:

Так как по условию задачи искомая точка должна лежать на оси между зарядами Q1 и Q2, расстояние от первого заряда до этой точки r1 = x3, расстояние от второго заряда

Решение этого уравнения после подстановки числовых значений дает: x3 = 4 см.

n

Напряженность поля в точке x3 может быть найдена по формуле E = åEi . В этой

i=1

точке (как и во всех точках на оси x между Q1 и Q2) векторы E1 и E2 направлены по оси x. Следовательно, вектор напряженности результирующего поля направлен также по оси x. Напряженность результирующего поля в рассматриваемой точке:

Подстановка числовых значений дает

E (x 3 ) = 7,5 ×104 Вм .

Задача 1.2. Два точечных заряда Q1 = + 2 · l0-10 Кл, Q2 = – 2 · l0-10 Кл находятся на расстоянии l = 2 см друг от друга. Найти работу поля по перемещению заряда q = – 1 · l0-11 Кл из точки B в точку C и из точки B в точку D. Точки расположены, как показано на рис. 1.2.

Р е ш е н и е . Рассматривается перемещение точечного заряда q в поле, создаваемом точечными зарядами Q1 и Q2.

Работа поля по перемещению заряда q для двух заданных перемещений равна:

Таким образом, задача сводится к нахождению разности потен- циалов между указанными точками.

Использование интегральной формулы ϕ1 -ϕ2 = ò2 Edr для на-

1

хождения разности потенциалов предполагает знание выражения Рис. 1.2. напряженности поля как функции координат. Поэтому в данном

случае целесообразнее искать отдельно потенциал результирующего поля в каждой из точек B, C, D методом суперпозиции.

В точке B на расстоянии от зарядов r1 = r2 = l/2 потенциал равен

r2 = l2 + l2 = l 2 . Потенциал этой точки:

Подставляя найденные значения потенциалов в выражение (14), получим:

A1 = 0; A2 = 2,5 · 10-10 Дж.

Работа A2 поля оказалась положительной, так как хотя φB < φD, но переносимый за- ряд q<0.

Задача 1.3. Заряд Q = 5 · 10-8 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу ра- диуса R = 6 см. Найти напряженность и потенциал в точке, лежащей на оси кольца (рис. 1.3) на расстоянии h = 8 см от его центра. Построить графики зависимости напряжен- ности и потенциала в точках, лежащих на оси кольца, от координат.

Р е ш е н и е . Рассматривается электрическое поле, созданное зарядом, равномерно распределенным по тонкому кольцу заданного радиуса. Расстояния от заряженного те- ла до точки, в которой отыскиваются характеристики поля, соизмеримы с размерами самого заряженного тела. Следовательно, заряд кольца нельзя считать точечным.

Для решения задачи может быть применен принцип суперпозиции для непрерывно распреде-

векторной величины E по формуле E = òdE ма-

(Q )

тематически более сложен, чем расчет скалярной

Рис. 1.3. величины φ по формуле ϕ = òdϕ . Поэтому целе-

(Q )

сообразнее находить сначала потенциал, а затем по формуле дифференциальной связи E = – grad φ напряженность.

Если кольцо разбить на элементы dl (рис. 1.3), то заряд каждого элемента может

быть выражен как

dQ = Ql dl ,

где l = 2πR – длина окружности кольца. Справедливость этой формулы следует из рав- номерного распределения зарядов по кольцу (отношение Q/l есть линейная плотность зарядов).

В рассматриваемой точке C потенциал поля, созданного таким элементарным заря- дом dQ при выборе начала отсчета потенциала в бесконечности, равен

dϕ = dQ , 4πε0r

где r = R 2 + h2 одинаково для всех элементарных зарядов. Принцип суперпозиции

дает

Следует отметить, что полученное выражение для потенциала не зависит от харак- тера распределения заряда по кольцу; то же выражение получится и в случае неравно- мерного распределения зарядов.

Для нахождения напряженности поля в точке C следует прежде всего определить направление вектора E в этой точке. Из условия равномерного распределения зарядов по кольцу следует, что E направлен по оси z, как показано на рис. 1.3, т. е. E = Ez.

Очевидно, что векторы напряженности dE полей, создаваемых всеми элементар- ными зарядами в точке C, одинаковы по величине и образуют коническую поверхность, симметричную относительно оси z. Поэтому Ex = Ey = 0.

Для нахождения величины E = Ez лучше пользоваться дифференциальной связью между потенциалом и напряженностью, так как полученное выше выражение для по- тенциала является одновременно и функциональной зависимостью потенциала от ко- ординаты z, так как расстояние h как раз является координатой z. То есть для любой

Для построения графика Ez(z) исследуем выражение (16). При z = 0 Ez = 0. При z > 0 Ez = + E > 0. При z < 0 Ez = – E < 0. При z → ± ∞ E → 0. Следовательно, функция Ez име-

ет два экстремума. E = Emax при dEdz = 0 . Произведя дифференцирование, найдем, что Ez

= Emax при z = ± R2 . График Ez(z) приведен на рис. 1.4.