Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Теперь найдем радиус в соответствии с основным законом релятивистской динамики:

Сила Лоренца перпендикулярна скорости v, абсолютная величина скорости не меняет-

ся, поэтому 1- β 2 = const . Тогда уравнение движения примет вид

m0 dv = q[vB]. 1- β 2 dt

Уравнение совпадает с уравнением движения в нерелятивистском случае, но с реляти-

вистской массой

m = m0 1- β 2 = const .

Поэтому траекторией частицы будет окружность, радиус которой определяется из ус-

ловия

где p – релятивистский импульс:

p = 1c W 2 - m02 c4 , W =W к + m0c2 ,

где Wк – кинетическая энергия частицы.

Тогда W 2 - m02 c4 =W к2 + 2W к m0c2 и p = 1c W к2 + 2W к m0c2 . Откуда

2. Максимальную скорость получим, пользуясь следующими формулами:

W к 1- β 2 = m0c2 - m0c2 1- β 2 ,

(W к + m0c2 )2 1- β 2 = m0c2 .

Возведем левую и правую части в квадрат:

(W к + m0c2 )2 (c2 - vmax2 )= m02 c6 ,

т. е. скорость протона становится ультрарелятивистской.

3. Число пролетов N протона между дуантами найдем из уравнения

W к = NqU ,

Число оборотов N в два раза меньше числа пролетов, т. е.

n= N 2 =105 .

4.Считая период обращения на всех витках приблизительно одинаковым (второй способ синхронизации) и пренебрегая шириною ускоряющего промежутка (рис. 3.1), найдем время движения протона в циклотроне (значения R и vmax соответственно берем из п. 1 и 2):

τ= nT = n 2πR = 0,496 с .

vmax

Обсуждение

Значение энергии частицы, равное 76 ГэВ, приведено в данной задаче не случайно. Построенный в 1967 г. ускоритель в Серпухове позволяет увеличивать кинетическую энергию протонов как раз до этого значения (76 ГэВ). Скорость протонов, обладающих такой энергией, отличается от скорости света в вакууме приблизительно на 0,007%. В этих условиях невозможно обойтись без применения законов теории относительности.

Учет релятивистского эффекта привел к возрастанию радиуса движения частицы почти в 6,5 раз. При этом длина окружности магнита должна быть равной ~ 1500 м.

Интересно оценить, как изменяется частота электрического поля, подаваемого на ускоряющие электроды. В начале ускорения m = m0 и ν0 = 1/T0, а так как T0 = 2πm/qB, то

В конце ускорения ν = 1/T = v/2πR. Подставляя R из формулы (2.1), получим

Следовательно, для синхронной работы ускорителя требуется изменить частоту элек- трического поля.

Самый мощный в настоящее время ускоритель – протонный синхротрон – находит- ся в лаборатории Ферми в Батавии (около Чикаго). Он ускоряет протоны до энергии

400 ГэВ.

ЗАДАЧА 3. МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПРИБОР [5, 10]

Постановка задачи 3

В электромеханических измерительных механизмах используется действие маг- нитного поля на ток, поэтому при решении задач по теме «Действие магнитного поля на ток и движущийся заряд» следует рассматривать задачи, касающиеся принципов действия и устройства различных электроизмерительных приборов.

Рис. 3.1.

В магнитоэлектрических измерительных механизмах вращающий момент создает- ся в результате взаимодействия магнитного поля постоянного магнита и тока, прохо- дящего по катушке (рамке). На рис. 3.1 показана подвижная рамка 1 измерительного механизма, находящаяся в равномерном радиальном магнитном поле, созданном силь- ным постоянным магнитом 2, полюсными наконечниками с цилиндрической поверхно- стью 3, цилиндрическим сердечником 4 из мягкой стали. Воздушный зазор между на- конечниками и цилиндром не превышает, как правило, 2 мм. Цилиндрический сердеч- ник нужен для увеличения магнитной индукции в воздушном зазоре. При этом мень- шее число силовых линий оказывается за пределами воздушного зазора и меньше рас- сеяние магнитного поля. При такой конфигурации сердечника получается равномерное радиальное поле. Действительно, поскольку ширина воздушного зазора в пределах угла отклонения рамки везде одинакова, то параметры магнитного поля по окружности с любым радиусом будут постоянны, силовые линии такого поля направлены по радиу- сам этих окружностей, т. е. поле радиально.

Формулировка задачи 3

Найти величину магнитной индукции, которая должна быть в воздушном зазоре постоянного магнита в магнитоэлектрическом механизме, чтобы при токе I = 3 мА, числе витков N = 50, активной площади обмотки рамки S = 3 · 10-4 м2 и удельном про- тиводействующем моменте пружины δ = 2 · 10-5 Н · м/рад подвижная часть повернулась на 20°.

Решение задачи 3

В создании вращающего момента участвуют лишь токи, протекающие по сторонам рамки, расположенным в плоскости, перпендикулярной рисунку. Стороны рамки, на- ходящиеся в плоскости рисунка, при своем движении скользят вдоль силовых линий, не пересекая их. Сила Ампера, с которой магнитное поле действует на сторону рамки, перпендикулярной к силовым линиям поля, равна