W = ò |
|
B 2 |
|
dV , |
|
|
2μμ0 |
|
|
V |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
1 |
|
ò |
B 2 |
|
dV . |
(8.1) |
2 |
|
μμ0 |
|
|
I |
|
V |
|
|
|
Нахождение L таким образом свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока. Как бы не был про- водник тонок, его сечение конечно. Следовательно, мы не знаем, как надо провести в теле проводника геометрический контур, необ- ходимый для вычисления Φ. Результат вычисления оказывается не- однозначным. Для тонкого провода эта неоднозначность несущест- венна. Если же провод толстый, то из-за неопределенности выбора
Рис. 8.2. геометрического контура результат вычисления может содержать большую ошибку.
Так как dV равняется 2πrdr, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
1 |
òb |
B 2 |
|
2πrdr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
μ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения зависимости B = f(r) применим закон полного тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òBdl = μ0 åJ сц . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда (рис. 8.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка A 0 < r < a B = |
μ0 Ir |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка C a < r < b B = |
|
μ0 I |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка D r > b B = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График зависимости B = f(r) приведен на рис. 8.2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
1 |
òa |
B 2 |
2πrdr + |
1 |
òb |
B 2 |
2πrdr = |
|
μ02 |
|
òa r3 dr + |
|
μ0 |
òb |
dr |
= |
μ0 |
+ |
μ0 |
ln |
b |
= |
2 |
|
2 |
|
2πa |
4 |
|
2π |
|
|
|
a |
|
I |
0 μ0 |
|
I |
a μ0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
a r |
|
8π 2π |
|
|
=μ0 æ 1 + ln b ö .
ç÷
2π è 4 a ø
Обсуждение
Чем тоньше центральный провод (больше отношение b/a), тем меньшую роль игра- ет его магнитное поле. Если a << b, то магнитным полем внутреннего провода можно
пренебречь и тогда
L = 2μπ0 ln ba .
Итак, индуктивность единицы длины коаксиального кабеля определяется его гео- метрией. В качестве примера рассчитаем индуктивность кабеля КГП-1-90. Этот кабель предназначен для буксирования в водной среде, управления и энергоснабжения глубо- ководных аппаратов. У него a = 0,69 мм, b = 7,35 мм. Индуктивность единицы длины
такого кабеля
L = |
μ |
0 |
æ 1 |
+ ln |
b ö |
= 2 |
×10−7 |
æ |
1 |
+ ln |
7,35 ö |
= 5,23 ×10−7 |
Гц . |
|
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
2π |
4 |
|
4 |
0,69 |
|
è |
|
a ø |
|
|
è |
|
ø |
|
|
При выводе формулы индукции магнитного поля в точке A предполагалось, что ток по сечению проводника распределен равномерно. Это справедливо лишь для постоянного тока. При переменном токе, для передачи которого в основном и служат коаксиальные кабели, плотность тока по сечению оказывается не одинаковой. При больших частотах наблюдается скин-эффект (ток существует только в тонком поверхностном слое про- водника); в этом случае полем внутри центральной жилы можно пренебречь, и тогда формула (8.3) будет иметь вид
L = 2μπ0 ln ba .
Полезно обсудить (если позволяет время) один из способов опытного определения ин- дуктивности, например, тот, который изложен в одной из наших лабораторных работ.
Рис. 8.3.
Схема определения L изображена на рис. 8.3. Значения L находят по формуле
L = U L R U 0 2πν ,
где R – сопротивление цепи; ν – частота генератора, UL и U0 – амплитудные значения ЭДС самоиндукции на катушке и напряжения на генераторе (измеряются электронным вольтметром ЭВ). Измерения проводят для двух соленоидов одинаковой длины (l = 10,5 см), разного сечения (D1 = 28 мм, D2 = 20 мм), с разным количеством витков (N1 = 66, N2 = 140). Результаты измерений дают L1 = 27 мкГн, L2 = 62 мкГн, что не рас- ходится с их теоретическими значениями. Наконец, можно рассмотреть предел частот, при котором можно пользоваться формулой (8.3). В этом случае мгновенные значения силы тока должны быть одинаковыми в любом месте линии. Это осуществимо при ус- ловии, что длина линии l < λ/4 (λ – длина волны). Тогда l < c/(4ν) или ν < c/(4l). Для ла- бораторного кабеля l = 1 м и ν < 3 · 108/4 ≈ 108 Гц.
ЗАДАЧА 9. РАСЧЕТ ИНДУКТИВНОСТИ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ [9]
Постановка задачи 9
Двухпроводная линия используется для передачи энергии от источника тока (гене- ратора) к потребителю. Двухпроводная линия представляет собой два длинных прямых параллельных провода, по которым текут в противоположных направлениях одинако- вые токи.
Формулировка задачи 9
Два длинных прямых провода с одинаковыми радиусами сечения расположены па- раллельно друг другу. Расстояние между осями проводов d. По проводам текут одина- ковые токи. Найти индуктивность единицы длины такой системы.
Решение задачи 9
Индуктивность двухпроводной линии, состоящей из одинаковых проводов радиуса a, можно определить как величину отношения магнитного потока Φ через площадь ме-
жду осями параллельных проводов с противоположными направлениями токов к силе тока в этих проводах
L = ΦI .
Рассмотрим магнитное поле одного левого провода (рис. 9.1).
Считая внутренний провод тонким, можно пренебречь его магнитным полем. В об- ласти a < x индукция магнитного поля имеет вид
B = 2μπ0xI .
Следовательно, магнитный поток через площадь между проводами
|
|
d −a μ |
|
I |
|
μ |
|
Il |
|
d − a |
|
|
Φ1 = òBdS = ò |
|
0 |
|
ldx = |
|
0 |
|
ln |
|
. |
|
2πx |
2π |
a |
|
S |
a |
|
|
|
Так как токи в обоих проводах противоположны по направлению, то направления магнитных полей, создаваемых обоими проводами, совпадают. Это значит, что полный магнитный поток Φ, создаваемый обоими проводами, будет в два раза больше потока от одного провода:
Φ = 2Φ1 = μπ0 Il ln d a− a .
Отсюда индуктивность единицы длины двухпроводной линии
L = ΦIl = μπ0 ln d a− a .
Обсуждение
Ввысоковольтных линиях могут возникать условия, способствующие появлению в них резонансных процессов, для расчета которых необходимо знать значения C и L.
Внашем лабораторном практикуме имеется работа по изучению электромагнитных волн в двухпроводной линии. Строгое рассмотрение происходящих в линии явлений также требует знания значений емкости и индуктивности на единицу длины линии.
ЗАДАЧА 10. ЧЕТЫРЕХЗОНДОВЫЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ПРОВОДИМОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ [7]
Постановка задачи 10
В условиях серийного производства полупроводниковых приборов широкое рас- пространение для измерения проводимости получил четырехзондовый метод.
Рис. 10.1.
Суть метода заключается в том, что на поверхность полупроводника устанавлива- ются четыре точечных зонда (рис. 10.1). Крайние зонды подсоединяются к источнику тока, а внутренние зонды используются для измерения разности потенциалов между ними. Точность измерения четырехзондовым методом повышается, если соблюдаются следующие условия:
1)поверхность образца, на которую ставятся зонды – плоская;
2)размеры образца значительно превосходят расстояние между зондами;
3)диаметр зондов значительно меньше расстояния между ними.
На практике выполнение этих требований не вызывает особых затруднений, и в то же время позволяет упростить вывод расчетной формулы для проводимости, так как при выполнении трех условий одновременно, образец можно считать полубесконеч- ным.
В настоящее время серийно выпускаются четырехзондовые головки для измерения поверхностного сопротивления образцов толщиной δ ≤ 1 мм и диаметром D ≤ 60 мм.
Формулировка задачи 10
Вывести расчетную формулу для определения удельного сопротивления (проводи- мости) полупроводников четырехзондовым методом для образца в форме слитка.
