Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

выводится, а постулируется. Его справедливость доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения, хорошо согласуются с опытом. (Существуют и другие, более общие подходы к решению квантовомеханических задач но в данном курсе мы их рассматривать не будем.)

Итак, временнóе (т. е. зависящее от времени) уравнение Шрёдингера имеет вид

Здесь ћ – постоянная Планка, m – масса частицы, Ψ(x, y, z, t) – пси-функция, ∆ – опера-

тор Лапласа (в декартовой системе координат ∆ = ∂22 + ∂22 + ∂22 ), U(x, y, z, t) – потен-

∂x ∂y ∂z

циальная энергия частицы в силовом поле, i – мнимая единица. Надо иметь в виду, что уравнение Шрёдингера справедливо для нерелятивистских частиц, т. е. при v << c, где c

– скорость света в вакууме.

III. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

В общем случае потенциальная энергия, характеризующая силовое поле, является функцией координаты и времени. Имеется очень большой круг задач, когда поле стационарно. Тогда U = U(x, y, z) не зависит от t. В этом случае Ψ-функцию можно представить как произведение двух функций – одна зависит от координаты, другая от времени (см. пример свободно движущейся частицы):

Ш(x, y, z,t)=ψ(x, y, z)e−hi Wt .

Подставим это в общее уравнение Шрёдингера. Получим

Отсюда

− 2hm ∆ψ +Uψ =Wψ

или

∆ψ(x, y, z)+ 2hm [W −U (x, y, z)]ψ(x, y, z)= 0 .

Это уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (или, для краткости, просто уравнение Шрёдингера). Здесь W – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия

частицы в силовом поле, ψ(x, y, z) – пси-функция, которая должна удовлетворять тем же условиям, что и Ψ.

ПРИМЕР

Свободно движущаяся частица с энергией W

Так как поля нет, можно считать, что в этом состоянии U = 0. Задача одномерна,

поэтому ∆ = ∂22 . Уравнение Шрёдингера примет вид

∂x

∂2ψ2 + 2m (W − 0)ψ = 0 .

∂x h

Решение будем искать в виде ψ = Aekx, где k – неизвестная константа.

Отсюда

k 2 + 2hm2 W = 0

или

– уравнение бегущей волны.

Следовательно, решением уравнения Шрёдингера в данной ситуации является бегущая волна (см. предыдущий пример). Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 = A2. Это означает, что вероятность обнаружения частицы вдоль оси x везде одинакова, что

согласуется с соотношением неопределённостей: мы знаем энергию W = p2 , а тем са- 2m

мым и импульс, но зато не знаем координату частицы.

§ 3. Потенциальная яма. Потенциальный барьер

I. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины

щить шарику некоторую скорость v, то он будет участво-

вать в периодическом движении, меняя направление скорости при каждом упругом ударе о стенку. При этом шарику можно сообщить любое значение энергии. Зависимость потенциальной энергии шарика от координаты x можно представить в виде следующего графика:

U

2. Квантовая задача

Рассмотрим одномерное движение микрочастицы в пространстве, ограниченном непрозрачными стенками. Нас не интересует, как можно технически осуществить такое

ψI = 0, – туда частица попасть не может.

ψIII = 0,

Так как задача одномерна, ∆ = ∂22 . Кроме того, во второй области UII = 0. Уравне-

∂x

ние Шрёдингера для второй области

∂2ψII + 2m (W − 0)ψII = 0 . ∂x2 h2

Здесь W – полная энергия частицы.

Введём обозначение k 2 = 2hm2 W . Тогда

∂∂2ψ2II + kψII = 0 .

x

Решение будем искать в более привычном для нас виде

ψII (x)= Asin kx + Bcoskx .

Условие непрерывности, налагаемое на волновую функцию, даёт

ψII (0)=ψI (0)= 0 ;

ψII (0)= Asin 0 + Bcos0 = 0 .

Отсюда B = 0. В результате

ψII (x)= Asin kx .

Условие непрерывности на второй границе при x = l:

Итак, sin kl = 0, тогда

kl = рn , где n = 1, 2, 3, … (n ≠ 0, т. к. тогда ψ ≡ 0 и частицы нет). Отсюда

k = рln , где n = 1, 2, 3, … .