Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18098

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Отсюда A =

2 .

l

Окончательно для ψ-функции получим следующее выражение:

ψII (x)=

2 sin

рn x .

l

l

Однако нахождение волновой функции не является самоцелью в квантовой механике. Самое интересное заключается в другом.

Следствия из уравнения Шрёдингера

1-е следствие

Вероятность нахождения микрочастиц в разных точках пространства не одинакова.

2

2

2 рn

Плотность вероятности

ψ

=

sin

x .

l

l

При n = 1

|Ψ|2

У границ ямы при

x = 0

|ψ|2 = 0.

x = l

0

l

x

При n = 2

|Ψ|2

У границ ямы при

x = 0

и в середине ямы x = l/2 веро-

x = l

0

l

x

ятность обнаружения частицы равна нулю!

При n = 3

|Ψ|2

0

и т. д.

Обращение в ноль вероятности обнаружения части-

цы (например, в середине ящика) с классической точки

l

x зрения совершенно не приемлемо.

2-е следствие

Наиболее интересным является следующий вывод: энергия микрочастицы, находящейся в потенциальной яме, может принимать только дискретный ряд значений, т. е. энергия частицы квантована.

W

n = 4

Действительно,

в

ходе

решения

мы получили условие

рn

2m

k =

. Так как

k 2

=

W , то отсюда

l

h2

W3

n = 3

W =

h2

р 2

n

2

, где n = 1, 2, 3, … и n ≠ 0.

2m l

W2

n = 2

Энергия принимает дискретный ряд значений и никогда не об-

W1

n = 1

ращается в ноль! Энергия квантована.

Расстояние между энергетическими уровнями

h2

р

2

2

2

h

2

р 2

∆W =Wn+1 −Wn =

[(n +1) − n

]≈

n ,

2m

l

2m

l

т. е. пропорционально n.

Численная оценка

Электрон, m ≈ 10-30 кг. При ширине ямы l = 1 см ∆Wn ≈ 10-14n (эВ). Квантуемость не наблюдается (практически сплошной спектр энергии).

При ширине ямы l = 1 Å (10-10 м) ∆Wn ≈ 68n (эВ). Энергия квантована!

II. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины (туннельный эффект)

Рассмотрим другой, реальный случай, имеющий, кроме того, и техническое применение.

1. Классический аналог

Шайба, движущаяся со скоростью v, въезжает

на ледяную горку. Пусть U0 – высота потенциаль-

v

v0

ного барьера. Если

mv2

>U0 , частица преодоле-

2

вает барьер. Если m2v2

W

I

II

III

UI = 0

UII ≠ 0

UIII = 0

0

l

2. Квантовая задача

Рассмотрим аналогичную «горку» для микрочастицы. Такая «горка» может быть создана для электрона, например, электрическим полем. Легче решать задачу, если барь-

x ер имеет прямоугольную форму.

Пусть U – высота барьера, l – его ширина. Если энергия частицы W > U, то частица преодолеет барьер, но есть вероятность отражения. Если W < U, то частица отражается, но есть вероятность «просачивания» сквозь барьер. Найдём эту вероятность. Пусть

W < U.

Для упрощения решения задачи рас-

W

смотрим полубесконечный барьер, т. е. пусть

l → ∞. Разобьём пространство на две облас-

ти:

I

II

U

UI = 0,

0

x

UII =U.

Кроме того, задача одномерна, поэтому ∆ =

∂2

.

∂x2

Уравнение Шрёдингера для области I:

∂2ψI

+

2m

(W − 0)ψI = 0 .

∂x2

h2

Для области II:

∂2ψII

+

2m

(W −U )ψII = 0 .

∂x2

h2

При W < U будет W – U < 0. Введём обозначения

k 2 =

2m

W и α 2 =

2m

(U −W )> 0 !

h

2

h

2

Получим два уравнения

ψI′′+ k 2ψI 2 = 0,

′′

2

2

−α ψI

= 0.

ψII

Решение уравнений ищем в виде ψ = eλx. Тогда ψ ′′ = λ2eλx . Получим

2

λx

2

λx

2

2

λI e

+ k

e

= 0, или

λI + k

= 0,

λ2IIeλx −α 2eλx = 0

λ2II −α 2 = 0,

откуда

λI = ±ik

,

λII

= ±α.

Тогда

ψI

= A1eikx + B1e−ikx ,

(1)

ψ

II

= A eαx + B

e−αx .

2

2

Попытаемся найти коэффициенты A и B. Коэффициент A1 характеризует набегающую волну (подлетающую частицу), B1 – отражённую волну (отлетающую от барьера

A1

A2

частицу). Коэффициенты A2 и B2 характери-

зуют вероятность нахождения частицы внут-

B1

B2

ри барьера. Так как эта вероятность не может

расти с ростом x, A2 = 0.

Воспользуемся условием непрерывности на границе барьера:

ψI (0)=ψII (0).

Тогда из (1) получим (с учётом того, что A2 = 0)

A1 + B1 = B2 .

Условие непрерывности производных

′

′

(0)

ψI

(0)=ψII

даёт второе уравнение:

ikA1 −ikB1 = −αB2 .

Имеем систему уравнений

A1

+ B1 = B2 ,

ikA1 −ikB1 = −αB2 .

Отсюда

B

=

2ik

A .

ik −α

2

1

Коэффициент B1 характеризует вероятность отражения частицы и нас не интересует. Коэффициент A1 характеризует вероятность присутствия налетающей частицы и его можно нормировать на 1.

Итак, вероятность нахождения частицы в точке с координатой x = l определяется

ψI (0)2 ~ A12 . Вероятность нахождения частицы внутри барьера на расстоянии x от гра-

ницы пропорциональна ψII (x)2 ~ B2 e−αx 2 ~ e−2αx .

Обрежем барьер на ширине x = l. Введём понятие

e-2αx

прозрачности барьера – вероятности прохождения час-

e-2αl

тицей барьера высотой U и шириной l. D – коэффици-

0

l

ент прозрачности барьера:

D =

ψ

II

(l)

2

.

ψII (l)

2

ψI (0)

2

2

D =

=

2ik

e

−2αl

=

4k 2

e

−2αl

=

4W

e

−2αl

.

v

A2

ik −α

α2 + k 2

1

В большинстве реальных задач коэффициент 4Wv ≈1. Тогда для D имеем формулу

D ≈ e–2αl или

D = e

−

2

2m(U −W )l

.

h

Тем самым мы доказали, что даже имея энергию, меньшую чем высота потенциального барьера, частица может преодолеть этот барьер. Она проходит как бы сквозь туннель. Отсюда и название «туннельный эффект».

Численная оценка

Если U – W = 5 эВ, то при

l = 1 Å

D = 1·10-1 (из десяти налетающих частиц одна пройдёт через барьер);

l = 2 Å

D = 8·10-3;

l = 5 Å

D = 5·10-7.

Туннельный эффект объясняет аномально большой ток, который наблюдается при холодной эмиссии.

металл

металл

ток эмиссии

W W

e e

e

Смотрите также файлы