Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18129

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛАВА II. ДИНАМИКА

§ 1. Динамика материальной точки

Законы Ньютона

I закон Ньютона

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерно прямолинейно движется до тех пор, пока взаимодействие с другими телами не вынудит его изменить это состояние. Отсюда следуют два утверждения:

1)Все тела обладают свойством инертности (т. е. сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения).

2)В природе существует хотя бы одна инерциальная система отсчёта (ИСО), в которой тело в отсутствие взаимодействия покоится или движется равномерно прямолинейно.

IIзакон Ньютона

Сила – это количественная мера взаимодействия данного тела с другими предметами. Из опыта следует, что:

1)Ускорение a прямо пропорционально силе F (a ~ F).

2)Ускорение a обратно пропорционально массе m ( a ~ m1 ), m – мера инертности

тела.

Из 1) и 2) следует, что a = k mF , k зависит от выбора системы единиц и k = 1.

F

,

.

a =

ma = ∑Fi

m

i

d

2

x

= ∑Fix ,

m

2

dt

i

d 2 r

; m

d 2 r

∑Fi

d

2 y

= ∑Fiy ,

a =

2

2

=

→

m

dt

dt

dt

2

i

i

d

2 z

= ∑Fiz .

m

2

dt

i

ПРИМЕР

Пружинный маятник, трения нет.

k

Ось х: Fx = −kx , m

d 2 x

= −kx , x ′′+

k

x = 0 .

dt

2

m

m

x

= A cos(ω0t +ϕ0 ), x ′ = −Aω0 sin(ω0t +ϕ0 ),

O

x

k

k

x ′′ = −ω02 A cos(ω0t +ϕ0 ) → x ′′ = −ω02 x == −

x → ω02

=

.

m

m

При ω02 =

k

уравнение, описывающее колебания тела массой m на пружине примет

m

x

k

следующий вид:

x =

.

A cos

m

t +ϕ0

A

O

t

Импульс тела

ma = ∑F

d(mv)

= ∑F

– второй закон Ньютона в дифференциальной форме.

a = dv

dt

dt

Скорость изменения импульса тела пропорциональна силе, действующей на тело. d(mv)= ∑Fdt , здесь mv – импульс тела, Fdt – импульс силы.

Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело.

III закон Ньютона

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Эти силы не уравновешивают друг друга, т. к. они приложены

к разным телам.

Fki

Fik = −Fki .

Fik

§ 2. Динамика системы материальных точек

Система материальных точек – это совокупность тел, движением которых мы интересуемся в данной задаче. (В частности, любое твёрдое тело можно представить как систему материальных точек.)

Пусть имеется система, состоящая из N тел.

m1

f21

m2

mi – масса i-го тела системы;

f13

fik – внутренние силы, действующие между телами системы;

m3

F21

Fi – внешние силы, действующие на систему;

I

m = ∑mi – масса системы.

II

Для описания системы запишем уравнение динамики для каждого тела в отдельно-

сти:

d

(m v )= f

+ f

+... + f + F ,

dt

1

1

12

13

1N

1

d

(m

v

)

= f

+ f

+

... + f

+ F ,

2

21

23

2 N

dt

2

2

...,

d

(m

v

)= f

+ f

+... + f

N (N −1)

+ F .

N

N

N 1

N 3

N

dt

Сложим левые и правые части уравнений:

d

∑mi vi

= ∑∑fij +

∑Fi ;

dt

i

j

i

i

∑fij = 0 , т. к. fij = −f ji .

j

сумма внутренних сил

d

(m1v1 + m2 v2 +... + mN vN )=

∑Fi

– закон изменения импульса системы.

dt

i

Импульс системы: pсист

= m1v1 + m2 v2 +... + mN vN .

dpсист

= ∑Fiвнеш

– скорость изменения импульса системы определяется только

dt

суммой внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнута, то ∑Fi = 0 и pсист = const .

Центр масс системы тел

z m1

m3 r1

r3

r2 m2

x

x ц. м.

rц.м. =

∑(mi ri )

∑mi = mс – масса

i

– центр масс системы,

∑mi

i

i

системы.

y

Координаты центра масс системы тел:

=

∑(mi x i )

, yц. м. =

∑(mi yi )

, zц. м. =

∑(mi zi )

i

i

i

.

mc

mc

mc

Скорость центра масс системы тел:

d(rц. м. )

∑mi

dri

dt

vц. м. =

=

d

∑mi ri

=

.

dt

dt

m

c

m

c

Принимая во внимание, что

dri

= vi , а ∑mi vi = pсист , получим

vц. м. =

pсист

. Отсюда

dt

mc

импульс системы

pсист = mc vц. м.

.

Следовательно, импульс системы тел можно найти двумя способами: 1) по определению ( pсист = m1v1 + m2 v2 +... + mN vN ), 2) через скорость центра масс системы

( pсист = mc vц. м. ).

Закон движения центра масс системы тел

Запишем закон изменения импульса системы:

dpсист = ∑Fiвнеш .

dt

Принимая во внимание, что pсист = mc vц. м. , запишем

d

(mc vц. м. )= ∑Fiвнеш

.

mcaц. м. = ∑Fiвнеш

dt

Центр масс системы тел движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системе, под действием силы, равной сумме сил, действующих на систему.

F1

F1

m1

ц. м.

m3

mс

F2

F3

m2

F2

F3

§ 3. Динамика твёрдого тела

Сложное движение твёрдого тела можно разделить на плоское движение и другие виды движения.

Плоским движением тела называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях. Плоское движение в свою очередь можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного (относительно центра масс). Такое разбиение не единственное.

Поступательным называется такое движение, при котором прямая, соединяющая две точки тела, не меняет своей ориентации в процессе движения.

Разделим динамику твёрдого тела на динамику поступательного и динамику вращательного движения.

I. Динамика поступательного движения

Представим твёрдое тело как систему материальных точек ( mc = ∑∆mi ). Тогда

центр масс тела будет двигаться как центр масс системы материальных точек.

mтелаaц. м. = ∑Fiвнеш .

mс

∆mi

При поступательном движении все точки тела движутся, как центр масс.

Все силы, приложенные к твёрдому телу при поступательном движении, можно приложить в точку центра масс.

F2

F2

ц. м.

F1

F1

F3

F3

II. Динамика вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Всё сказанное ниже будет также справедливо и для ускоренно движущейся оси, проходящей через центр масс.

Момент силы (M)

Момент силы

.

M = Fh

α

F

h

h – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до

·

линии действия силы).

ось

Момент силы – мера взаимодействия тел во вращательном

движении.

F

h = rsinα = rsin(rF),

r

α

M = Frsin(rF)

.

h

α

Векторная форма записи момента сил:

M = [rF]

;

M = rF sin(rF)= Fh .

M

M

F

M

r

F

r

r

Можно доказать,

ось вращения

ось вращения

что ∑Mвнутр = 0 .

Основное уравнение динамики вращательного движения

а)

Движение

материальной

z (ось вращения) точки

по

τ F окружности

F

Ось r

α

r

Вид сверху →

O

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось τ:

maτ = F sinα

mrε = F sinα ;

aτ = εr

умножим на r левую и правую части уравнения:

mr2ε = rF sin(rF).

Смотрите также файлы