Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18188

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

инертность ускорение

M –

характеристика

взаимодействия

во вращательном движении

во вращательном движении

mr 2 = IOz

– момент инерции материальной точки относительно оси Oz.

IOzε = M

– основное уравнение динамики вращательного движения материальной

точки.

Сравним: ma = F ; I – m, ε – a, M – F.

б) Движение твёрдого тела, закреплённого на оси вращения

z

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг оси

Oz. Пусть на него действуют внешние силы Fi. Разобьём тело на n

ri

Fi

малых элементов массой δmi. На каждую элементарную массу δmi

могут действовать как внутренние силы fij, так и внешние силы Fi.

δmi

Так же, как и в предыдущем случае, для каждой элементарной мас-

O

сы ∆mi запишем II закон Ньютона в проекции на касательную ось τ:

δmi aiτ

= fi1 sin(αi1 )+ fi2 sin(αi2 )+... + Fi sin(αi ).

Домножив это уравнение слева и справа на ri, и учитывая то, что aiτ = εri

, запишем сис-

тему уравнений:

2

ε = f12 r1 sin(α12 )+ f13 r1 sin(α13 )+... + F1 r1 sin(α1 ),

δm1

r1

δm

r

2

ε = f

r

sin(α

)+

f

r

sin(α

)+... + F

r

sin

(α

),

2

2

21

2

21

23

2

23

2

2

2

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..

δm

n

r2

ε = f

n1

r

sin(α

n1

)+

f

n2

r

sin

(α

n2

)+... + F

n

r sin(α

n

).

n

n

n

n

Сложив уравнения этой системы, получим

n

n

n

sin(αij

)+

n

∑δmi ri2 ε = ∑∑ fij ri

∑Fi ri sin(αi ).

i=1

i=1 j=1

i=1

Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой сумму моментов внутренних сил, которая (в силу III закона Ньютона) равна нулю, что легко доказать. Вторая сумма – сумма моментов внешних сил, действующих на это тело:

n

∑Fi ri sin(αi )= ∑M iвнеш . i=1

n

Обозначим через I следующую сумму: I = ∑δmi ri2 , которую назовём моментом

i=1

инерции твёрдого тела относительно оси вращения Oz. Тогда полученное уравнение можно записать в следующем виде:

i=1
Здесь ri – расстояние от элементарной массы Если устремить ∆mi к нулю, то получим
Скорость изменения момента импульса твёрдого тела пропорциональна моменту внешних сил, действующих на это тело.
III. Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения
Момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении (аналог массы в поступательном движении). Он зависит как от массы тела, так и от её распределения по объёму тела. Кроме того момент инерции зависит от выбора оси вращения.
Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции его частей. В частности, если тело разбить на элементарные массы ∆mi, то по определению
z IOz = ∑n ∆mi ri2 .

n

IOz ε = ∑MiOz i=1

– основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси Oz.

Так как ε = ddtω , уравнение можно записать в следующим виде:

IOz ddtω = ∑Mi .

Для твёрдого тела I = const, поэтому момент инерции можно внести под знак производной:

dtd (JOz ω)= ∑Mi .

Это уравнение в общем случае справедливо и для ситуации, когда I не остаётся постоянной величиной.

Если ввести понятие момента импульса твёрдого тела относительно оси Oz:

LOz = I oz ω,

то основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела можно записать в следующей форме:

dLdtOz = ∑MiOzвнеш .

∆mi до оси вращения.

ri

∆mi

O

I = ∫r2 dm .

V

Так как dm = ρ dV , где ρ – плотность вещества, а dV – элементарный объём, то имеем:

I = ∫ρr2 dV .

V

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ

1. Момент инерции тонкого кольца и тонкостенного цилиндра z Разобьём кольцо на элементы ∆mi, тогда

I = ∑(∆mi R 2 )= R 2 (∑∆mi )= mR 2 ;

R

∆mi

I кольца = mR

2

.

O

R

O

щества ρ

2. Момент инерции диска и сплошного однородного цилинд-

z

ра

rj

Разобьём диск на тонкие кольца толщиной ∆rj, момент инер-

n

∆rj

h ции

которых

равен ∆Ij. Тогда I диска

= ∑∆I j .

Так как

j=1

∆I

j кольца

= ∆m

r2 , то выразим массу ∆mi

через плотность ве-

j j

и объём кольца ∆Vj:

∆m j = ρ∆V j . Плотность цилиндра

ρ =

m

, а объём

πR 2 h

∆V

= 2πr

∆r

h .

Тогда

∆m

=

m

2πr ∆r

h =

2mrj ∆rj

.

В

результате

πR 2 h

R 2

j

j

j

j

j j

2mr3 ∆r

j

n

∆I j = ∆m j rj2 =

j

. Так как I диска

= ∑∆I j

, то при ∆rj → 0 получим

R

2

j=1

R 2m

3

2m

r4

R

mR 2

I диска =

r

dr

=

=

.

∫ R 2

R 2

4

2

0

0

I диска

=

mR 2

.

2

цилиндра

3. Момент инерции тонкого стержня

а) Относительно оси, проходящей через центр масс

z

∆xj

Разобьём стержень на элементы массой ∆mj. Если ширина

элемента

равна ∆xj , то

∆m j = m

∆x j , где l

– длина

xj

x

O

m

l

стержня. Тогда ∆I j = ∆m j x 2j

=

x 2j ∆x j

и полный момент инерции I = ∑∆I j

или, при

l

∆x j → 0 ,

I ц. м. = 2l / 2

m x

2 dx = 2 m

x 3

l / 2

= ml 2 .

∫

l

l

3

12

0

0

Таким образом, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс,

I стержня =

ml 2

.

12

ц. м.

б) Относительно оси, проходящей через конец стержня

z

∆x

I = ∫l

m

x 2 dx =

m

x 3

O

x

x

0 l

l

3

I стержня =

ml

2

.

3

отн. конца

l

ml

2

=

.

0

3

4. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр масс

z

I шара

=

2 mR 2

(без вывода).

5

R

O

5. Момент инерции бруска относительно оси, проходящей че-

z

рез центр масс

h

b

I = m(a

2

+ b

2

)

.

12

a

OЕсли a = b = h, то

I куба = ma2 .

6

Смотрите также файлы