Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

В конечной точке траектории синус угла β между векторами скорости и ускорения может быть выражен следующим образом:

sin β = vvx .

Разложив вектор полного ускорения g на тангенциальное и нормальное, получим aτ = gcos β , an = gsin β ,

и радиус траектории в этой точке также находится из соотношения r = v2 , т. е. aB

n

Так как полное время τ движения и начальная скорость v0 уже найдены, скорость v

в точке падения на землю находится по формуле

v = v02 cos2 α + (v0 sinα − gτ )2 = 21 мс .

Тогда радиус кривизны траектории в этой точке r = 63 м.

Задача 5

С вершины горы под углом α = 36° к горизонту бросают камень с начальной скоростью v0 = 5 м/с (рис. 3). Угол наклона горы к горизонту также составляет 36°. На каком расстоянии l от точки бросания упадет камень?

Рис. 3

АНАЛИЗ

Так же, как и в предыдущей задаче, движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых прямолинейных движений. В данном случае в качестве составляющих движений удобно брать движения вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней. При таком рассмотрении оба составляющих движения прямолинейны и равнопеременны.

РЕШЕНИЕ

Поместим начало координат в точке бросания (точка А), ось х направим параллельно наклонной плоскости вниз, ось у – перпендикулярно к плоскости вверх. Как видно из рисунка,

На основании выражений (1) и (2) закон движения камня в выбранной системе координат можно записать следующим образом:

В точке падения камня (точка В) при t = τ, x = l y = 0. Подставив значения y = 0 и

g

Преобразуем выражение в скобках

cos 2α + 2sin2 α = cos2 α − sin2 α + 2sin2 α =1;

окончательно получим

Можно выбрать координатные оси как обычно – ось x' направить по горизонтали, ось y' вертикально вверх. Тогда получим следующую систему уравнений:

В точке В при t = τ1 xB' = l cos α, yB' = l sin α. Подставляя значения xB' и xB' в уравнение (6), найдем искомое значение l.

§ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основными законами динамики являются II и III законы Ньютона. II закон устанавливает причинную связь между законом движения тела и характером взаимодействия данного тела с другими телами.

Если известен закон движения тела, можно найти результирующую силу, действующую на него. Если известен характер взаимодействия рассматриваемого тела с окружающими телами, т. е. если известны силы, действующие на данное тело, можно найти при заданных начальной скорости и начальных координатах закон движения этого тела.

Применение II закона Ньютона ко всякой конкретной задаче неразрывно связано с применением III закона в силу того, что действие одного тела на другое всегда носит характер взаимодействия.

До тех пор, пока не введено понятие силового поля, следует всегда рассматривать взаимодействие данного тела с другими телами.

Законы сохранения (закон сохранения количества движения и закон сохранения энергии) связывают между собой некоторые параметры (координаты и скорость) движения тела в различных его состояниях. Законы сохранения следует применять в тех случаях, когда вычисления сил либо затруднительны, либо не нужны по условию задачи. В том случае, когда силы, действующие на рассматриваемое тело, оказываются зависящими от времени, закон движения (на основании II и III законов Ньютона) определяется при помощи интегрального исчисления. Применение законов сохранения позволяет обойти математические затруднения и по начальным параметрам движения найти конечные и наоборот. В этом случае законы Ньютона могут быть использованы для качественного анализа. Во многих случаях оба метода равноправны. Вопросы применимости законов сохранения будут разобраны ниже.

Задачи этого параграфа решены в СИ, при этом для перевода величии в единицы этой системы используется табл. 1 Приложения.

При решении задач все данные приводятся к одной системе единиц непосредственно перед подстановкой числовых значений.

Законы Ньютона

Уравнение II закона Ньютона надо применять в отдельности к каждому телу рассматриваемой системы. Особое внимание следует при этом уделить анализу сил взаимодействия данного тела с другими телами. При анализе действующих сил следует рассмотреть их характер (тяготение, упругость, трение), происхождение (в результате взаимодействия с каким телом возникла данная сила), направление. Уравнение II закона следует обязательно писать в векторном виде, а затем переходить к скалярным равенствам, связывающим проекции ускорения и действующих сил на координатные оси, выбранные в зависимости от условий задачи. Эту систему координат, применяемую для решения векторных уравнений, не следует смешивать с системой отсчета, относительно которой рассчитываются скорости и ускорения тела. Это обстоятельство является существенным при решении задач на криволинейное движение, где для решения векторного уравнения, составленного на основании II закона Ньютона, удобно выбирать оси, направления которых не являются постоянными во времени, в то время как скорость и ускорение тела отсчитываются в инерциальной системе отсчёта. В тех случаях, когда тела связаны между собой (нить, стержень и т. п.), перемещения тел не являются независимыми. Следует помнить, что законы Ньютона справедливы только для инерциальных систем. Почти во всех рассматриваемых задачах Землю можно считать инерциальной системой координат, если пренебрегать ее ускорением относительно системы неподвижных звезд. Отсюда вытекает ограничение в выборе систем отсчета: они не должны иметь ускорения относительно Земли2.

Необходимо также рассмотреть применение законов Ньютона к изучению криволинейного движения материальной точки. Прежде всего следует вспомнить основные положения кинематики криволинейного движения. В общем случае, когда меняется не только направление, но и абсолютная величина скорости, имеет место следующее равенство:

ma = ∑F .

Сумма тангенциальных составляющих всех действующих сил создаст тангенци-

альное ускорение (mat = ∑Ft ); сумма нормальных составляющих всех сил создает

2 Движение тел относительно неинерциальных систем рассматривается в § 5.