Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

только после рассмотрения движения блока.

Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его центр, следовательно, моменты сил тяжести и реакции оси равны нулю. Предполагая, что нить не скользит относительно блока, можно утверждать, что вращение блока вызывается действием сил натяжения нити.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения в применении к блоку записываем так:

Iε = M1 + M2 ,

где M1 и M2 – моменты обеих сил натяжения. Считая направление вращения блока по часовой стрелке положительным, т. е. принимая направление по оси вращения «к нам» за положительное, получим

где а – абсолютное значение линейного ускорения грузов. Последнее равенство справедливо в силу того, что нить нерастяжима и, следовательно, линейное ускорение грузов и всех точек нити одинаково и равно вследствие отсутствия проскальзывания нити касательному ускорению крайних точек блока. Из равенства (3) вытекает, что в случае невесомости блока

T2 = T1 11

РЕШЕНИЕ

Для определения закона движения грузов выбираем общую систему координат. Положительное направление оси принимаем вертикально вниз. Тогда уравнения (1) и

(2) запишем следующим образом:

m1a = P1 −T1 ; − m2a = P2 −T2 .

Уравнение (3) с учетом равенства (4) получим в виде

I ar =T1r −T2 r ,

11 Надо помнить, что здесь речь идет только об абсолютных величинах сил натяже-

где момент инерции диска

I = m0r2 . 2

Решая три последних уравнения совместно, находим

Задача 3

С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 36°, масса диска m = 500 г (рис. 20).

Рис. 20

АНАЛИЗ

При качении без скольжения тело перемещается, так как оно поворачивается вокруг оси, проходящей через центр масс. Следовательно, смещение s центра масс

где φ – угловое перемещение диска вокруг центра масс. Дважды дифференцируя это равенство, получим

ния.

где ω и ε – угловые скорость и ускорение вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.

Равенства (1), (2), (3) представляют собой математическую запись условий качения тела без скольжения (как по наклонной плоскости, так и по любой кривой поверхности).

В рассматриваемой задаче на диск действуют: сила тяжести Р, сила нормальной реакции N и сила трения fтр. Так как скольжения диска относительно плоскости нет, указанная сила трения есть сила трения покоя, которая подчиняется условию

где µ – коэффициент трения между плоскостью и диском, N – сила нормальной реакции плоскости на диск. Ускорение центра масс а может быть найдено из II закона Ньютона

Вращение диска вокруг центра масс обусловливается только силой трения, так как моменты силы тяжести и силы нормальной реакции равны нулю. Следовательно,

РЕШЕНИЕ

Рассматривая проекции всех сил на ось х (направим ось x вниз параллельно наклонной плоскости), получим на основании уравнения (5)

При совместном решении уравнений (7) и (8) с учетом, что момент инерции диска

Из равенств (10) и (4) легко теперь найти условие при котором возможно качение без скольжения:

mg sinα 1+ mrI 2

или

1

1+ mrJ 2

Следовательно, при уменьшении коэффициента трения сила, требуемая для обеспечения качения без скольжения, может оказаться больше, чем максимальная сила трения покоя, тогда тело начнет скользить; такое же явление может иметь место при увеличении угла α.

Задача 4

С наклонной плоскости скатываются без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на легкие колеса. Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз?

АНАЛИЗ

Движение центров масс обоих тел равноускоренное без начальной скорости. Следовательно, для обоих тел можно записать