ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.04.2025
Просмотров: 18217
Скачиваний: 6
E к2 = |
(m +M )u2 |
. |
|||||||
2 |
|||||||||
Подставив в это выражение значение и из уравнения (5), получим |
|||||||||
E к2 = |
mv2 |
m |
. |
(7) |
|||||
2 |
m +M |
||||||||
Доля η кинетической энергии пули, израсходованной на пробивание ваты, может
быть определена на основании выражений (6) и (7) следующим образом: |
|||||
η = |
E к1 − E к2 |
=1− |
m |
. |
(8) |
Eк1 |
m +M |
||||
Подставив в выражение (8) значения масс, находим
η = 99,75% .
После решения этой задачи следует качественно разобрать случай, когда мешок с ватой заменяют абсолютно упругим телом той же массы М. Вследствие того, что масса груза очень велика по сравнению с массой пули, последняя отскочит со скоростью, близкой к начальной, но противоположного направления, т. е. изменение импульса пули при упругом ударе вдвое больше, чем при неупругом ударе. Поэтому груз М по окончании удара приобретет скорость, вдвое большую, чем скорость и, рассчитанную по выражению (5).
Задача 10
Человек массой m1 = 60 кг прыгает с неподвижной тележки, стоящей на рельсах, вдоль рельс; при этом тележка, масса которой m2 = 30 кг, откатывается в противоположном направлении на расстояние s = 2 м. Зная, что коэффициент трения тележки о рельсы µ = 0,1, найти энергию, затраченную человеком при прыжке.
АНАЛИЗ
Человек, отталкиваясь от тележки при прыжке, сообщает скорость себе самому и тележке; затраченная им энергия превращается в кинетическую энергию тележки и самого человека. При этом предполагаем, что время ∆t взаимодействия человека и тележки настолько мало, что смещением тележки и работой силы трения за время ∆t можно пренебречь. Тогда
∆Eчел = E к(1) + E к(2 ) , |
(1) |
где Eк(1) – кинетическая энергия человека в момент отрыва от тележки, Eк(2 ) – кинетиче-
ская энергия тележки в этот же момент времени. По условию задачи тележка откатывается на расстояние s. На этом пути на тележку действуют сила тяжести, сила нормальной реакции земли и сила трения. Первые две взаимно уравновешиваются. Работа силы трения должна равняться изменению кинетической энергии тележки на пути s, т. е.
∆E к(2 ) = −E к(2 ) = Aтр . |
(2) |
Кинетическая энергия человека может быть найдена из соотношения скоростей человека и тележки, выведенного на основан закона сохранения импульса:
m1v1 − m2 v2 = 0 , |
(3) |
где v1 и v2 – скорости человека и тележки относительно Земли после прыжка.
Применение закона сохранения количества движения к системе человек-тележка возможно только в предположении, что сила трения между колесами тележки и рельсами мала по сравнению с силой взаимодействия человека и тележки, возникающей во время прыжка.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим значение работы в уравнении (2):
Aтр = − f тр s , f тр = µP2 .
Подставив эти соотношения в уравнение (2), получим
Eк(2 ) |
= µm2 gs . |
(4) |
|||||||||||||||
Из равенства (3) находим, что |
|||||||||||||||||
v1 |
= |
m2 |
, |
||||||||||||||
v2 |
m1 |
||||||||||||||||
следовательно, |
|||||||||||||||||
E (1) |
= |
m v2 |
= |
m |
2 |
, |
|||||||||||
к |
1 1 |
||||||||||||||||
Eк(2 ) |
m2 v22 |
m1 |
|||||||||||||||
откуда |
|||||||||||||||||
(1) |
(2 ) |
m2 |
|||||||||||||||
E |
к |
= E к |
. |
(5) |
|||||||||||||
m1 |
|||||||||||||||||
Подставим это выражение и выражение (4) в формулу (1) и произведем вычисления:
m2 |
|||||
= 88 Дж . |
|||||
+ m |
|||||
∆Eчел = µm2 gs 1 |
|||||
1 |
|||||
§ 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Методика решения задач по вращательному движению принципиально не отличается от методики решения задач поступательного движения. Для составления основного уравнения динамики вращательного движения следует рассматривать отдельно каждое из тел, входящих в систему. Анализ действующих сил должен иметь столь же большой удельный вес, как и при решении задач на поступательное движение.
В задачах этого раздела рассматривается вращение тел вокруг оси (двумерное вращение). В этом случае все векторы, входящие в задачи (угловые скорость и ускорение, моменты сил, моменты импульса), коллинеарны, поэтому для простоты уравнения движении большей частью записываются в скалярной форме.
При прохождении данного раздела на лекциях прочитан уже материал, достаточный по объему, поэтому можно с самого начала использовать как основное уравнение динамики вращательного движений, так и законы сохранения. Условия применимости закона сохранения энергии остаются теми же, что и при поступательном движении.
Закон сохранения моментов импульсов справедлив в тех случаях, когда сумма моментов внешних сил относительно рассматриваемой оси равна нулю.
Сложное плоское движение, например движение катящегося тела, следует рассматривать как сумму двух движении — вращательное вокруг оси, проходящей через центр масс, и поступательное движение со скоростью центра масс. Для решения задачи следует, писать основное уравнение динамики вращательного движения
∑Mi = Iε
и II закон Ньютона
∑Fi = ma ,
где Mi – моменты всех сил, действующих на тело, рассчитанные относительно оси, проходящей через центр масс; I – момент инерции тела относительно той же оси; ε – угловое ускорение; Fi – силы, действующие на тело; m – масса всего тела; а – ускорение центра масс, не зависящее от точек приложении действующих сил. Кинетическая энергия тела в этом случае равна сумме кинетических энергий вращательного и поступательного движений.
Задача 1
Маховик, массу которого m =5 кг можно считать распределенной по ободу радиуса r = 20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая п = 720 об/мин. При торможении маховик полностью останавливается через время ∆t = 20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
АНАЛИЗ
Если пренебречь зависимостью силы трения от скорости, движение маховика можно считать равнозамедленным и основное уравнение динамики может быть записано таким образом:
I∆ω = M∆t , |
(1) |
где ∆ω – изменение угловой скорости за время ∆t.
Полное число оборотов N может быть найдено как кинематически, так и из изменения кинетической энергии.
РЕШЕНИЕ
Из условий задачи следует, что
∆ω =ωк −ω0 |
= −ω0 = −2π n , |
(2) |
|
I = mr2 . |
(3) |
||
Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), получим |
|||
− mr2 2πn = M∆t , |
|||
откуда |
|||
M = |
−2π n mr2 |
||
∆t |
= −0,76 Н м . |
||
Знак «минус» показывает, что вектор момента направлен противоположно вектору угловой скорости.
Проверим размерность полученного выражения в СИ:
dim M = dim r dim F = L MLT 2 = ML2T −2 ,
2 |
1 |
2 |
1 |
2 −2 |
||||||
nmr |
||||||||||
dim |
= |
ML |
= ML T |
. |
||||||
∆t |
T |
T |
||||||||
Угловое перемещение, пройденное маховиком до остановки,