Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Работа человека равна приросту кинетической энергии системы:

A = E к2 − E к1 .

Так как начальная кинетическая энергия системы

конечная кинетическая энергия системы

то

A = 2π 2 [(I 0 +2ml22 )n22 −(I 0 +2ml12 )n12 ]= 870 Дж .

Задача 10

Тяжелая узкая доска длиной l = 50 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через один из ее концов. В другой конец попадает пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v = 400 м/с, перпендикулярной оси вращения (рис. 24). Пуля застревает в доске, масса которой M = 60 кг. Найти угловую скорость доски сразу после попадания нули. На каком расстоянии от оси вращения должна попасть пуля, чтобы горизонтальная составляющая силы реакции оси в момент удара равнялась нулю?

АНАЛИЗ

В момент удара на доску будет действовать сила реакции оси, представляющая собой внешнюю силу, момент которой относительно оси вращения будет равен нулю, так как линия ее действия проходит через ось. Момент силы тяжести относительно этой же оси при взаимодействии можно считать равным нулю. Это утверждение справедливо в том случае, если процесс торможения пули протекает за столь малый промежуток

времени ∆t, что доска за это время не успевает заметным образом отклониться от вертикального положения. Таким образом, для системы пуля-доска справедлив закон сохранения момента импульса относи-

Рис. 24

Очевидно, что и величина, и направление этой силы реакции будут зависеть при прочих равных условиях от расстояния x от оси вращения до точки попадания пулиНайдем. при каким значении расстояния х сила боковой реакции оси обратится в нуль, а следовательно, импульс системы доска-пуля будет неизменным, т. е. p1 = p2. Если пуля попадает в доску, в точку, расположенную на расстоянии x от оси, то угловая скорость доски на основании уравнения (1)

Импульс системы до попадания пули в доску равен

p1 = mv ;

импульс системы после попадания пули с учетом, что vC =ω 2l , равен

Приравняем правые части последних выражений в силу закона сохранения импульса:

Если учесть, что m << M, то приближенно получим

x = 23 l .

Очевидно, что при x > 23 l

∆p = p2 − p1 > 0 ,

т. е. боковая составляющая силы реакции оси направлена по движению пули.

Задача 11

На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω0 = 15 с-1. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью ω начнет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180°? Момент инерции человека и скамьи I = 3 кг·м2, момент инерции колеса относительно своей оси

I0 = 0,5 кг·м2.

АНАЛИЗ

При повороте оси колеса вокруг горизонтальной оси скорость вращения колеса вокруг своей оси по абсолютной величине не изменится, но момент импульса изменит свой знак на обратный. Возникающие при этом повороте силы для системы скамья Жуковского (с человеком)-колесо будут внутренними силами, поэтому момент импульса системы в целом не изменится (моменты силы тяжести и силы реакции оси равны нулю).

РЕШЕНИЕ

Момент импульса системы до поворота колеса равен только моменту импульса колеса, т. е.

L1 = I 0ω0 .

Считаем первоначальное направление вращения колеса положительным. После поворота момент импульса системы будет складываться из моментов импульса колеса и скамья с человеком:

L2 = −I 0ω0 + Iω .

Согласно закону сохранения момента импульса

L1 = L2 ,

следовательно,

I 0ω0 = −I 0ω0 + Iω ;

отсюда

ω = 2IJ0ω0 = 5 с-1 .

Скамья будет вращаться в ту сторону, в которую вращалось колесо до поворота. После решения этой задачи следует обсудить случай поворота оси колеса на угол

ϕ= π2 .

Врезультате такого поворота проекция момента импульса колеса на вертикальную ось станет равной нулю. Следовательно, возникший момент импульса скамьи и человека будет равен начальному моменту импульса колеса.

Задача 12

По гладкой горизонтальной поверхности скользят две одинаковые «гантельки», расположенные, как показано на рис. 25. Скорости их соответственно равны v1 и v2.

Каждая из гантелек представляет собой невесомый жесткий стержень длиной l, на концах которого укреплены одинаковые точечные массы. Определить характер движения каждой из гантелек после удара. Удар считать абсолютно упругим.

Рис. 25

АНАЛИЗ

Так как гантельки скользят по гладкой горизонтальной плоскости, рассматриваемая система тел замкнута (силы тяжести уравновешены силами нормальной реакции). Удар абсолютно упругий, следовательно, система будет подчиняться и закону сохранения импульса, и закону сохранения энергии. Однако линия силы взаимодействия, действующей на первую гантель, не проходит через ее центр масс, и поэтому первая гантель будет после удара совершать и поступательное движение, и вращательное – вокруг своего центра масс. Моменты внешних сил также равны нулю, следовательно, к данной системе применим не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения моментов импульса относительно любой точки. Так как удар абсолютно упругий, то соударяющиеся тела являются идеально гладкими, поэтому векторы скоростей u1 и u2 поступательного движения гантелек и после удара должны быть параллельны (или антипараллельны) оси x, проведенной по направлению начальных скоростей.

Запишем закон сохранения импульса сразу в скалярном виде:

2mv1 +2mv2 = 2mu1 +2mu2 . (1)

Закон сохранения момента импульса напишем относительно точки С. До удара мо-