Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

мент импульса системы был равен моменту импульса только второй гантельки, т. е.

r1 sinα1 = r2 sinα2 = 2l

и вектор L1 момента импульса направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас»

(по определению момент импульса материальной точки Li = [ri mi vi ]). После удара момент импульса системы будет складываться из моментов импульса обеих гантелек:

Такая запись соответствует предположению, что после удара вторая гантель сохранит свое направление движения, а первая будет вращаться вокруг своего центра по часовой стрелке. Учитывая, что после удара первая гантель будет совершать и поступательное, и вращательное движение, закон сохранения энергии для первой гантели за-

РЕШЕНИЕ

Приравнивая правые части выражений (2) и (3) в силу закона сохранения момента импульса, найдем

Подставляя выражение ω 2l в уравнение (4), после элементарных преобразований по-

u1 = 13 (v1 +2v2 ); u2 = 13 (2v1 + v2 );

ω = 34l (v2 − v1 ).

При заданном направлении начальных скоростей скорости u1 , u2 поступательного движения обязательно положительны; столкновение произойдет только при условии, если v1 > v2, следовательно, ω < 0, т. е. первая гантель будет вращаться против часовой стрелки.

Если v2 < 0, то гантели движутся навстречу друг другу, и при v1 = 2 v2 первая ган-

тель будет только вращаться с угловой скоростью ω = − 4 vl 2 . Знак «минус» по-

прежнему указывает, что вращение будет происходить против часовой стрелки. При v1 = 21 v2 после удара остановится вторая гантель.

§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Кинематика

Механические колебания отличаются от рассмотренных выше видов движения тем, что ускорение при колебательном движении есть переменная величина. В силу этого необходимо тщательно рассмотреть на упражнениях соотношения между кинематическими параметрами колебательного движения.

Изучение колебаний следует начинать с гармонических колебаний. Гармоническим колебательным движением называется такое движение, при котором смещение точки или тела меняется со временем по гармоническому (синусоидальному) закону.

В зависимости от характера движения его можно описывать при помощи либо линейной, либо угловой координаты. И в том, и в другом случаях закон гармонического движения имеет следующий вид:

где х – значение координаты (угловой φ или линейной s) в момент времени t; x0 – ам-

плитуда колебаний (угловая или линейная); ω – круговая частота; ωt +α0 – фаза коле-

корению.

Следует обратить внимание учащихся на то, что:

1) ускорение при гармоническим колебании прямо пропорционально смещению, взятому с обратным знаком, а коэффициент пропорциональности равен квадрату кру-

говой частоты:

d 2 x = −ω2 x ; dt 2

2) величина скорости достигает максимального значения, когда смещение и ускорение равны нулю.

Задача 1

Какова частота, амплитуда и начальная фаза колебаний, заданных уравнением (в

СИ) s = sin(630t +1)? Каковы максимальные скорость и ускорение точки, колеблющей-

ся по заданному закону?

РЕШЕНИЕ

Простое сравнение общей формулы гармонического колебательного движения s = Asin(ωt +α0 )

с заданным законом движения

s = sin(630t +1)

позволяет сразу же ответить на поставленные вопросы:

A =1м; ω = 630 с-1 ;

v = 2ωπ = 20 Гц ; α =1 рад;

vmax =ωA = 630 мс ;

amax = ω2 A = 4 105 см2 .

Задача 2

За какую долю периода тело, совершающее гармонические колебания, пройдет пути, равные половине амплитуды и амплитуде, если в начальный момент тело проходило через положение равновесия?

АНАЛИЗ

Путь l, пройденный телом, в данном случае может быть выражен как разность смещений тела s в разных положениях. Тогда

l = s − s0 ,

где s и s0 – смещения колеблющегося тела от положения равновесия соответственно в

РЕШЕНИЕ

Тело совершает гармонические колебания по закону

s = Asin ωt ; (3)

Такая запись закона движения вытекает из условия, что начальная фаза равна нулю. При t = 0 имеем

s = s0 = 0 ; при t = t1 s = s1 = A2 .

Подставив эти условия в формулу (1), получим