Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

6. Колебания и волны

При гармонических колебаниях, когда смещение тела (линейное или угловое) опи-

смещение имеют противоположные направления). Коэффициент пропорциональности

ω2 есть квадрат собственной частоты свободных колебаний, а период T = 2ωπ . Решая

задачи подобного рода, следует задать системе некоторое смещение из положения равновесия. Записывая II закон Ньютона (в случае поступательного движения) или основное уравнение динамики (при вращательном движении), выражаем ускорение и, обнаруживая его связь со смещением, находим собственную частоту и период колебаний.

6.1. Материальная точка совершает гармонические колебания, амплитуда смещений и наибольшая скорость которых соответственно равны A = 0,5 мм и vmax = 5 см/с.

Найти частоту колебаний точки.

Указание. Записать закон движения материальной точки и использовать дифференциальную связь скорости и смещения.

6.2.Материальная точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой А. Найти, сколько времени (в долях периода) требуется для смещения точки на расстояние A/2 от ее положения равновесия. Сколько времени требуется для перехода точки из этого положения в положение, наиболее удаленное от положения равновесия?

6.3.Расстояние точки, совершающей гармонические колебания, до ее начального

положения равновесия (центра колебания) определяется уравнением x = A sin(bt + c),

где А, b, с – постоянные величины. Найти скорость и ускорение этой точки в зависимости от х.

6.4. Материальная точка совершает два взаимно перпендикулярных колебания, для которых измеренные в мм смещения определяются уравнениями x =10sin π4 t ,

материальной точки.

требуется разложить на два гармонических колебания того же периода и того же направления так, чтобы начальные фазы слагаемых колебаний были 0,3π и 0,05π.

Указание. Задачу следует решать с помощью векторной диаграммы, на которой каждое колебание рассматривается как проекция некоторого вращающегося вектора на неподвижную ось.

6.6. Сколько будет биений в секунду при сложении двух гармонических колебаний,

6.7.Наибольший угол отклонения математического маятника длиной l = 1,0 м от его вертикального положения α1 = 3°. Найти, через какой промежуток времени после прохождения маятником отвесного положения угол его отклонения от этого направления будет равен α2 = 2°. Чему равны в этот момент угловая скорость маятника и линейная скорость его конца?

6.8.Упругая пружина закреплена верхним своим концом в неподвижной точке, к нижнему концу подвешен груз массой m = 4,0 кг. В недеформированном состоянии пружина имеет длину L = 50 см и под действием статической нагрузки, равной силе тяжести подвешенного груза, вытягивается на l0 = 9,0 см. Груз приводится в положение, при котором длина пружины делается равной l = 54 см и отпускается без начальной скорости. Найти период колебаний груза Т и наибольшую силу натяжения пружи-

ны Fmax.

6.9. Налитую в U-образную трубку (рис. 6.1.) жидкость выводят из положения равновесия и предоставляют самой себе. Пренебрегая капиллярными силами и силами трения, найти период колебаний Т налитой в трубку жидкости. Объем трубки, занимаемый жидкостью, принять равным объему цилиндра одинакового поперечного сечения и длиной, равной длине осевой линии трубки l = 50 см.

6.10. Жидкость налита в трубку, изогнутую так, что ее колена образуют с горизонтом углы α и β. Найти период колебаний жидкости, налитой в эту трубку и выведенной из положения равновесия, если длина осевой линии трубки l. Капиллярные силы и вязкость не учитывать.

6.11.Ареометр (прибор для определения плотности жидкости) массой m = 50 г, имеющий в верхней части цилиндрическую трубку диаметром d = 1,0 см, плавает в воде. Ареометр погружают в воду несколько ниже положения его равновесия и предоставляют самому себе. Не принимая во внимание движения воды и трения ареометра о воду, найти частоту вертикальных колебаний ареометра.

6.12.Предположим, что по одному из диаметров Земли просверлен канал. Принимая Землю за однородный шар плотностью D = 5,5·103 кг/м3, найти время τ движения

тела от поверхности Земли до ее центра (гравитационная постоянная

γ= 6,67·10-11 м3/кг·с2, радиус Земли R3 = 6370 км).

6.13.Найти период малых колебаний однородного стержня длины l относительно горизонтальной оси, отстоящей на 1/4 его длины от конца стержня.

6.14.Найти период малых колебаний легкого тонкого стержня вокруг оси, проходящей через стержень перпендикулярно его длине, если на концы стержня на расстояниях l1 = 15см и l2 = 30 см от оси прикреплены одинаковые тяжелые шарики ничтожно малого радиуса.

6.15.Физический маятник совершает колебания вокруг горизонтальной оси с периодом Т1 = 0,5 с. Какую массу должен иметь точечный груз, прикрепленный к телу на расстоянии l = 10 см ниже оси, для того чтобы период колебания утяжеленного маятни-

ка стал равным Т2 = 0,6 с? Момент инерции физического маятника (без груза) относительно оси качания I = 1,2·10-4 кг·м2.

6.16.Найти жесткость k пружин рессор вагона, масса т которого равна 50 т, если при скорости v = 12 м/с вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках. Длина рельса l = 12 м. Вагон имеет четыре рессоры.

6.17.Отцепившийся от поезда вагон массой m = 16 т, двигаясь со скоростью v = 3,6 км/ч, наталкивается своими буферами на неподвижный упор и останавливается.

Найти сжатие пружин буферов в момент остановки вагона. Сжатие пружины каждого буфера пропорционально силе и под действием силы F = 75 кН равно s = 1,5 см.

6.18.К свободному концу висящей резиновой трубки длиной L = 108 см подвешен груз. Этот груз поднимают до верхнего закрепленного конца трубки и отпускают без начальной скорости. Найти наибольшее удлинение трубки lmax, если под статическим действием подвешенного груза трубка удлиняется на l0 = 9 см.

6.19.К нижнему концу упругой пружины подвешен груз массой т = 1 кг. Человек держит в руке верхний конец пружины и опускает его равномерно со скоростью

v = 0,7 м/с. Какова будет сила наибольшего натяжения пружины, если человек внезапно задержит движение своей руки? Статическая нагрузка от этого груза вызывает удлинение пружины, равное x0 = 5 см.

6.20.С высоты h = 20 см упал груз на свободный конец упругого стержня, другой конец которого закреплен неподвижно. Каков максимальный прогиб стержня, если тот же груз, положенный на него, вызывает прогиб x0 = 0,5 см?

6.21.Акробат прыгает в сетку с высоты h = 10 м. Найти, во сколько раз наибольшая сила давления акробата на сетку больше его силы тяжести, если под действием тяжести акробата, спокойно лежащего в сетке, она провисает на расстояние h0 = 20 см.

6.22.Горизонтальный тонкий стержень АВ подвешен на двух

6.23.Круглый диск радиусом R подвешен к потолку на трех параллельных нитях длиной l (трифилярный подвес). На диск поставлены два одинаковых цилиндра массой

ткаждый; радиус основания цилиндра r. Основания цилиндров расположены симметрично относительно центра диска так, что их центры находятся па одном диаметре диска на расстоянии радиуса R друг от друга. Масса диска m0. Найти период крутильных колебаний диска с цилиндрами.

6.24.Найти логарифмический декремент затухающих колебаний математического маятника длиной l = 50 см, если за время τ = 8 мин колебаний он теряет 99% своей энергии.

6.25.Логарифмический декремент колебаний маятника θ = 0,02. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний после п = 100 полных колебаний маятника.

6.26. Источник гармонических колебаний совершает колебания по закону y = 0,02 sin πt , где у и t измеряются в метрах и секундах. Колебания от источника рас-

пространяются вдоль некоторой прямой со скоростью v = 60 м/с. Найти смещение и скорость точки, находящейся на расстоянии х = 7,5 м от источника колебаний, по прошествии времени t = 0,25 с от начала колебаний источника. Распространяющиеся колебания считать незатухающими.