Файл: Статистика - Метод_лаб_СМИИ(УиИ).doc

Таблица 1. Типы распределений и их параметры

Тип распределения	Нормальное	Лапласа	Логнормальное	Экспоненциальное
Параметры -> № варианта 	1; 2	1; 2	1; 2	1
K=1..15 K=16..30	-K/10; K/2 K/10; К/20	-K/10; K/10 K/10; K/10	K/10; K/10 1+K/10; K/20	1+K/10 K/10

Таблица 2. Границы интервалов

Тип распределения	Нормальное 1, 2		Лапласа 1, 2	Логнормальное 1, 2	Экспоненциальное 1
№ варианта	Заданный диапазон
K=1..15		(K/10+1);  (K/10); K/10+0.5)	-; (K/10-1)	K/10; 		K/10 ; 
K=16..30		(K/20-2);  (K/10); (K/10+1)	-; (-K/10-1)	(K/10+0.05*K); 		K/50 ; 

---

Таблица 3. Значения вероятностей

Тип распределения	Нормальное 1, 2	Лапласа 1, 2	Логнормальное 1, 2	Экспоненциальное 1
№ варианта	Заданная вероятность попадания в симметричный ( +/-x ) и асимметричный (- ; x) интервалы		Заданная вероятность попадания в асимметричный интервал (- ; x)
K	0.95; 0.99		К/100

Лабораторная работа 2.

Тема: Оценивание функции плотности и интегрального закона распределения вероятностей по выборке заданного объема.

Задание.

1. Начать работу с модулем Basic Statistics и подготовить таблицу, содержащую 10 столбцов и 10 строк.

2. В первом столбце с именем X10 cгенерировать выборку объема N1=10 случайных величин с нормальным распределением и заданными значениями параметров (см. Таблицу 1). Для этого открыть выпадающее меню на заголовке столбца, выбрать

Variable Specs-> Functions->Distributions-> VNormal -> Insert,

а затем ввести в окно Long Names… формулу для расчета в виде

=Vnormal ( rnd(1); m;  ) .

Сохранить таблицу в файле с соответствующим именем.

3. Перейти к работе с модулем Data Management, открыть таблицу, созданную в предыдущем пункте, скопировать переменную X10 во второй столбец и упорядочить его значения по возрастанию. Для этого выбрать в горизонтальном меню позицию Analysis->Sort.

Упорядоченным данным присвоить имя VX_10, сохранить таблицу. Записать в отчет упорядоченный ряд данных и его название.

4. Построить гистограмму по значениям X_10. Для этого выбрать Graph->Stats 2D Graphs-> Histograms и установить параметры окна:

• необходимое количество интервалов (требует предварительного расчета по формуле r=1+3,2*lg N),

• вывод значений ординат в процентах,

• тип подгоночной кривой – тип теоретического распределения моделируемой случайной величины.

---

График сохранить для отчета.

5. Построить диаграмму накопленных частот по значениям X_10. Для этого выполнить все действия п.4, отметив дополнительно позицию Cumulative Counts.

6. В таблицу добавить 490 строк и повторить п.п. 2―5 для того же типа распределения, но―объем выборки N2=500. Сгенерированные и упорядоченные данные поместить соответственно в столбцы X_500 и VX_500. Провести расчеты из п.п. 3-5 и сравнить полученные результаты с результатами для X10.

7. Сгенерировать новые случайные величины:

• в столбцах Y1 – Y6 -> Yi=Rnd(1), i=1..6;

• в столбцах Z1 – Z5 Z1=(-1/K)*Ln(1-Y1); Z2=K*Y1, Z3=Y1+K,

Z4=(Yi-1)/(1/6) , i=1, 2; Z5=(Yi-3)/(1/2), i=1,2,…, 6;

где К – номер студента по журналу.

8. Построить гистограммы для величин Y1 и Z1 – Z6 и сделать выводы относительно изменений вида закона распределения вероятностей при различных преобразованиях исходной случайной величины.

9. Построить график по значениям переменной Х_10, выбрав Analyses->Descriptive Statistics->Normal Probability Plots. Объяснить назначение используемого метода анализа.

Пункт 10 выполняется на зачетном занятии

10. Проверить предпосылку о нормальности распределения Z5, используя критерий Пирсона. Для этого выполнить следующие действия:

• Перейти в модуль Nonparametric/Distrib, в горизонтальном меню окна выбрать Analyses-> Startup Panel. В открытом окне отметить Distribution Fitting, а на панели Continues Distributions выбрать тип распределения – Normal и нажать кнопку ОК,

• В окне Distribution Fitting выбрать две переменные для исследования Z5 и Z1, отметить «No» для теста Smirnov-Kolmogorov Test, рассчитать и ввести количество интервалов для построения гистограммы (Categories), отметить позиции Frequency Distributions и Row Frequencies, нажать кнопку ОК,

• Для каждой переменной в окне результатов записать значения Chi-square (выборочное значение статистики хи-квадрат), df (число степеней свободы), p (вероятность, соответствующая Chi-square) и на одном графике построить зависимости значений в столбцах Observed Frequency и Expected Frequency от номера интервала.

• Проанализировать результаты и принять решение относительно выдвинутой гипотезы.

11. Оформить отчет, содержащий расчеты и графики по всем пунктам задания.

Контрольные вопросы:

---

1. Что такое вариационный ряд измерений ? Как его получить ?

2. Что такое гистограмма ? Как строится эта функция ?

3. Как рассчитать оценку вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, используя гистограмму ?

4. Что такое диаграмма накопленных частот? Как строится эта функция?

5. Как рассчитать оценку вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, используя диаграмму накопленных частот ?

6. Как сгенерировать измерения случайной величины с заданным типовым законом распределения ?

7. Как будет изменяться вид гистограммы (диаграммы накопленных частот) при увеличении числа измерений ?

8. Как влияет линейное (нелинейное) преобразование случайной величины на вид ее распределения ?

9. Как можно практически использовать центральную предельную теорему для формирования случайных величин ?

10. Пояснить, для какой цели могут быть использованы формулы формирования случайных величин Z4 и Z5.

Лабораторная работа 3.

Тема: Свойства точечных оценок математического ожидания M[x] и дисперсии D[x] (стандартного отклонения SD[x]).

Задание.

1. Начать работу в модуле Basic Statistics и подготовить таблицу с 10 столбцами и 1000 строками.

2. Сгенерировать 10 выборок объема N=1000 нормально распределенных случайных величин с заданными параметрами ( см. п.2 в лаб. работе 2). Для этого выбрать позицию горизонтального меню Vars->All Specs и ввести в окне Long Name в первую строку формулу для расчета. В остальные 9 строк формулу перенести копированием. Далее выбрать Vars->Recalculate-> All variables и рассчитать значения всех выборок.. Выборки обозначить Х1―Х10.

3. Рассчитать оценки М[х] для всех выборок по N1=10 значениям. Для этого выделить блок значений, содержащий 10 строк, вызвать выпадающее меню и выбрать Block Stats/Columns->Means.

Увеличивать объем выборки последовательно до 50, 500 и 1000 и повторять расчет оценки M[x].

4. По аналогии повторить расчеты для SD[x], выбирая Block Stats/Columns->SDs.

Убедиться, что внизу таблицы появились восемь новых строк, в которых рассчитаны десять оценок М[х] и SD[x] по 10, 50, 500 и 1000 значениям.

---

5. Построить зависимости значений оценок от номера выборки:

• По строкам Mean1_10, Mean1_50, Mean1_100, Mean1_1000―на одном графике;

• по строкам SD1_10, SD1_50, SD1_500, SD1_1000―на втором графике.

Объяснить поведение графиков с точки зрения свойств точечных оценок

6. Рассчитать оценки математического ожидания по строкам оценок, полученных в п.5

M[M1_10], M[M1_50], M[M1_500], M[M1_1000],

M[SD1_10], M[SD1_50], M[SD1_500], M[SD1_1000],

Для этого выделить в таблице блок оценок целиком и использовать Block Stats/Rows->Means.

Рассчитать оценки среднеквадратического отклонения по строкам оценок, полученных в п.5

D[M1_10], D[M1_50], D[M1_500], D[M1_1000],

D[SD1_10], D[SD1_50], D[SD1_500], D[SD1_1000],

Для этого выделить в таблице блок оценок целиком и использовать Block Stats/Rows->SD’s.

Убедиться, что рассчитаны два новых столбца с оценками и результирующая таблица имеет вид

1	X1	X2		…	X10
2
…
1000
Mean1_10				…		M[M1_10]	D[M1_10]
Mean1_50				…		M[M1_50]	D[M1_50]
Mean1_100				…		M[M1_100]	D[M1_100]
Mean1_1000				…		M[M1_1000]	D[M1_1000]
SD1_10				…		M[SD1_10]	D[SD1_10]
SD1_50				…		M[SD1_50]	D[SD1_50]
SD1_100				…		M[SD1_100]	D[SD1_100]
SD1_1000				…		M[SD1_1000]	D[SD1_1000]

---