Файл: Статистическая физика.pdf

£¤¥ Fk{б¨« , б ª®в®а®© ­ k-о з бв¨жг ¤¥©бв¢гов ¢б¥ ®бв «м­л¥. б­®, зв® ¤«п бª®«мª®-­¨¡г¤м § ¬¥в­®£® §­ з¥­¨п N а¥и¥­¨¥ б¨бв¥¬л га ¢­¥­¨© (1.4) ­¥ ¯а¥¤- бв ¢«п¥вбп ¢®§¬®¦­л¬, ¤ ¦¥ з¨б«¥­­л¬¨ ¬¥в®¤ ¬¨. ஬¥ в®£®, ¤ ¦¥ ¥б«¨ ¡л ¬л ¬®£«¨ ­ ©в¨ в ª®¥ а¥и¥­¨¥, в® ¨ ¯®«м§л ®в ­¥£® ¡л«® ¡л ­¥ в ª г¦ ¬­®£®. ¥«® ¢ ⮬, зв® а¥ «м­ п ва ¥ªв®а¨п ¤¢¨¦¥­¨п ª ¦¤®© ¨§ з бв¨ж бª®а¥¥ ¢б¥£® ®ª § « бм ¡л ¢¥бм¬ § ¯гв ­­®©. ®«¥¥ в®£®, а¥и вм га ¢­¥­¨п (1.4) ­г¦­®, ¥бв¥бв¢¥­­®, б ­¥ª®в®ал¬¨ ­ з «м­л¬¨ гб«®¢¨п¬¨, а¥и¥­¨¥, ª ª ¯а ¢¨«®, ®ª §л¢ ¥вбп ªа ©­¥ зг¢бв¢¨в¥«м­л¬ ª ¢л¡®аг нв¨е гб«®¢¨©, в®з­®¥ §­ ­¨¥ ª®в®але ¢ а¥ «м­®© б¨вг- ж¨¨ ®вбгвбв¢г¥в. б¨«г а §¢¨¢ ой¥©бп ¢ ¡®«ми¨­бв¢¥ б«гз ¥¢ ­¥гбв®©з¨¢®бв¨ ¤¢¨¦¥­¨п, а¥и¥­¨п (ва ¥ªв®а¨¨), б®®в¢¥вбв¢гой¨¥ ¤ ¦¥ ¢¥бм¬ ¡«¨§ª¨¬ ­ з «м- ­л¬ гб«®¢¨п¬, ¢ в¥з¥­¨¥ ¢¥бм¬ ª®а®вª®£® ¢а¥¬¥­¨ ­ з¨­ ов нªб¯®­¥­ж¨ «м­® ®в- «¨з вмбп ¨ ­¥ ¨¬¥ов ­¨з¥£® ®¡й¥£®. а¥§г«мв в¥, ¨§ в ª¨е а¥и¥­¨© ¬л ¬ «® зв® ¬®¦¥¬ г§­ вм ® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠å á¨áâ¥¬ë ¨§ ¡®«ì讣® ç¨á« N ç áâ¨æ, ª®â®àë¥, ᮡá⢥­­® £®¢®àï, ­ á ¨ ¨­â¥à¥áãîâ. ªâ¨ç¥áª¨, ¯à®¡«¥¬ë, á¢ï§ ­­ë¥ á ­¥ãá⮩稢®áâìî âà ¥ªâ®à¨© ¢®§­¨ª îâ 㦥 ¢ á«ãç ¥ á¨á⥬, á®áâ®ïé¨å ¢á¥£® ¨§ ­¥áª®«ìª¨å ç áâ¨æ. ¬¥­­® í⨠®¡áâ®ï⥫ìá⢠¨ ¢ë­ã¦¤ îâ ­ á ¯à¨¡¥£­ãâì ª áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ã ­ «¨§ã.

â ª, ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï (1.4) ®¯à¥¤¥«ïîâ ¤¢¨¦¥­¨¥ ä §®¢®© â®çª¨ ¢ ä §®- ¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, çâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬¥å ­¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë. à ¥ªâ®à¨ï ä §®¢®© â®çª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ­ §ë¢ ¥âáï ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©. «ï ª®­-

í­¥à£¨¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ãá«®¢¨¥¬ (1.5) | â ª ­ §ë¢ ¥¬®©

í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâ¨. 2

1 ­â¥à¥á­® § ¬¥â¨âì, çâ® ¬¥â®¤ ¨¡¡á ¯®«­®áâìî ®á­®¢ ­ ­ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¨¬¥­­® £ ¬¨«ì- â®­®¢®©, ­¥ « £à ­¦¥¢®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨.

2 ¦­ãî à®«ì ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ áâàãªâãàë ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠¨£à ¥â ⥮६ ®è¨ ® ¥¤¨­- á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨© á¨áâ¥¬ë ®¡ëª­®¢¥­­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©. ਠ¤®¢®«ì­® ¬ï£- ª¨å ãá«®¢¨ïå ­ ¯à ¢ë¥ ç á⨠ãà ¢­¥­¨© (1.4), áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¢ «î¡®© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ à¥è¥­¨¥. â ⥮६ ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¨áª«îç ¥â ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¤¢ãå à §­ëå âà ¥ªâ®à¨© ¢ «î¡®© ॣã«ïà­®© â®çª¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠(ªà®¬¥ ­¥¯®¤¢¨¦­ëå â®ç¥ª, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à ¢¥­áâ¢ã ­ã«î ¯à ¢ëå ç á⥩ (1.4)).

10

®£¤ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï á¨á⥬ ­ 室¨âáï ¢ (â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬) à ¢­®¢¥á¨¨, ¥¥ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®áâ îâáï ¯®áâ®ï­­ë¬¨ ¢® ¢à¥¬¥­¨ (⥬¯¥à - âãà , ®¡ê¥¬, ¤ ¢«¥­¨¥ ¨ â.¯.), ®¤­ ª® á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¥¥ á®áâ®ï- ­¨¥ ¢á¥ ¢à¥¬ï ¬¥­ï¥âáï ¨ ¬ë ­¥ §­ ¥¬, ¢ ª ª®¬ ª®­ªà¥â­® ¬¨ªà®á®áâ®ï­¨¨ á¨á⥬ ­ 室¨âáï ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â (â.¥. £¤¥ ª®­ªà¥â­® ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ­ 室¨âáï ä - §®¢ ï â®çª ­ í࣮¤¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®áâ¨). â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®¯ëâ âìáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¥à®ïâ­®áâì ॠ«¨§ 樨 ᮢ®ªã¯­®á⨠¢á¥å ¢®§¬®¦­ëå ¬¨ªà®á®áâ®ï­¨© á¨á⥬ë, ®â¢¥ç îé¨å ¤ ­­®¬ã ¥¥ ¬ ªà®á®áâ®ï- ­¨î. «¥¤ãï ¨¡¡áã, ¯à¨­ïâ® à áᬠâਢ âì ­¥ ¤ ­­ãî ª®­ªà¥â­ãî á¨á⥬ã, ᮢ®ªã¯­®áâì ¡®«ì讣® (¢ ¯à¥¤¥«¥ N ! 1 ¡¥áª®­¥ç­®£®!) ç¨á« ¥¥ ª®¯¨©, ­ å®- ¤ïé¨åáï ¢ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨ ⮦¤¥á⢥­­ëå ãá«®¢¨ïå, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å â ª ­ - §ë¢ ¥¬ë© ­á ¬¡«ì ¨¡¡á , ®¯¨бл¢ ой¨© ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª®¥ б®бв®п­¨¥ б¨бв¥¬л.®¦¤¥бв¢¥­­®бвм ¢­¥и­¨е гб«®¢¨© ¢ ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª®¬ б¬лб«¥ ®§­ з ¥в, зв® ¢б¥ нª§¥¬¯«пал ­б ¬¡«п е а ªв¥а¨§говбп ®¤¨­ ª®¢л¬¨ §­ з¥­¨п¬¨ б®®в¢¥вбв¢го- й¨е ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª¨е ¯ а ¬¥ва®¢ (б в®з­®бвмо ¤® ¤®бв в®з­® ¬ «ле д«гªвг ж¨©) ¨ ®¤¨­ ª®¢л¬¨ в¨¯ ¬¨ ª®­в ªв®¢ б ®ªаг¦ ой¨¬¨ в¥« ¬¨ (а¥§¥а¢г а ¬¨ н­¥а£¨¨ ¨«¨ з бв¨ж, ¯®аи­п¬¨, бв¥­ª ¬¨ ¨ в.¯.). а¥§г«мв в¥ ¢®§­¨ª ов ®¯а¥¤¥«¥­­л¥ ®£а ­¨з¥­¨п ­ ª®®а¤¨­ вл ¨ ¨¬¯г«мбл з бв¨ж, ª®в®ал¥ ¢ ®бв «м­®¬ ¤®бв в®з­® ¯а®¨§¢®«м­л.

â â¨áâ¨ç¥áª¨© ­á ¬¡«ì § ¤ ¥âáï ä㭪樥© à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (p; q; t), ¨¬¥î饩 á¬ëá« ¯«®â­®á⨠¢¥à®ïâ­®á⨠à á¯à¥¤¥«¥­¨ï á¨á⥬ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, â ª çâ®:

¯®бª®«мªг б㬬 ¢¥а®пв­®бв¥© ¢б¥е ¢®§¬®¦­ле б®бв®п­¨© ¤®«¦­ а ¢­пвмбп ¥¤¨- ­¨ж¥. ¬¥­­® в ª п ­®а¬¨а®¢ª дг­ªж¨¨ а б¯а¥¤¥«¥­¨п ¨б¯®«м§г¥вбп ¢ ªгаб¥ ­- ¤ г ¨ ¨ди¨ж . з¥­м з бв® ¯®«м§говбп ¤аг£¨¬ ¢ а¨ ­в®¬ гб«®¢¨п ­®а¬¨а®¢ª¨.ªв¨з¥бª¨, ¬л § а ­¥¥ ¯®­¨¬ ¥¬, зв® ª« бб¨з¥бª п бв в¨бв¨ª ¥бвм ¯а¥¤¥«м­л© б«гз © ª¢ ­в®¢®© (ª ª ¬л г¢¨¤¨¬ ¯®§¤­¥¥, нв®в ¯¥а¥е®¤ ¯а®¨б室¨в ¯а¨ ¤®бв - в®з­® ¢лб®ª¨е в¥¬¯¥а вга е, ª®£¤ ª¢ ­в®¢л¬¨ ндд¥ªв ¬¨ ¬®¦­® ¯а¥­¥¡а¥зм).§ ª¢ ­в®¢®© ¬¥е ­¨ª¨ ¨§¢¥бв­® [7], зв® ¯®­пв¨¥ ª®®а¤¨­ вл ¨ ¨¬¯г«мб ª« бб¨- з¥бª®© ¬¥е ­¨ª¨ ¬®¦­® ¢¢¥бв¨ в®«мª® ¢ а ¬ª е ª¢ §¨ª« бб¨з¥бª®£® ¯а¨¡«¨¦¥­¨п.¨­¨¬ «м­л© а §¬¥а д §®¢®© пз¥©ª¨ ¤«п ®¤­®¬¥а­®£® ¤¢¨¦¥­¨п i-© з бв¨жл ¢ ª¢ §¨ª« бб¨з¥бª®¬ ¯а¨¡«¨¦¥­¨¨ а ¢¥­ h = 2 h:3

H pdq = (n + 12 )h. ­â¥£à « §¤¥áì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯«®é ¤ì, ®å¢ âë¢ ¥¬ãî § ¬ª­ã⮩ ª« áá¨ç¥áª®© ä §®¢®© âà ¥ªâ®à¨¥©. §¤¥«¨¢ íâã ¯«®é ¤ì ­ ª«¥â®çª¨ ¯«®é ¤ìî 2 h, ¯®«ã稬 n ª«¥â®ª. ® n §¤¥áì | ç¨á«® ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨©, á í­¥à£¨ï¬¨ ­¥ ¯à¥¢ëè î騬¨ § ¤ ­­®£® ¥¥ §­ 祭¨ï,

ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® à áᬠâਢ ¥¬®© âà ¥ªâ®à¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤®¬ã ª¢ ­â®¢®¬ã á®áâ®ï­¨î ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª«¥âª ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¯«®é ¤ìî 2 h. ᫨ ¢¢¥á⨠¢®«­®¢®© ¢¥ªâ®à ç -

áâ¨æë k = p=h, â® ¯®«ã稬 p q = k q , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§¢¥áâ­®¬ã ¢ëà ¦¥­¨î ¤«ï ç¨á«

2 h 2

ᮡá⢥­­ëå ª®«¥¡ ­¨© ¢®«­®¢®£® ¯®«ï [8].

«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬¨­¨¬ «ì­ë© à §¬¥à ï祩ª¨ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ®¤­®© ç - áâ¨æë à ¢¥­ h3 = (2 h)3, ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ N ç áâ¨æ ®­ à ¢¥­ (2 h)3N .

¥«¨ç¨­ (2 h)3N ï¥âáï ¥áâ¥á⢥­­®© ¥¤¨­¨æ¥© ¤«ï ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ®í⮬ã

ç áâ® ¡ë¢ ¥â 㤮¡­ë¬ ¢¢¥á⨠äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, ­®à¬¨à®¢ ­­ãî ­ ¥¤¨­¨æ㠯ਠ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ ¯® ¡¥§à §¬¥à­®¬ã ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã dpdq .

(2 h)3N

஬¥ ⮣®, ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ á¨á⥬ë N ®¤¨­ ª®¢ëå ç áâ¨æ á«¥¤ã¥â ãç¥áâì, çâ® ¯¥à¥áâ ­®¢ª ⮦¤¥á⢥­­ëå ç áâ¨æ ¢ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ ­¥ ¬¥­ï¥â á®áâ®ï­¨ï á¨á⥬ë. ®áª®«ìªã ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ¤«ï N ⮦¤¥á⢥­­ëå ç áâ¨æ à ¢­® N!, â® í«¥¬¥­â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ­ã¦­® 㬥­ìè¨âì ¢ N! à §, â ª ª ª ­ã¦­® ãç¨âë¢ âì ⮫쪮 䨧¨ç¥áª¨ à §«¨ç­ë¥ á®áâ®ï­¨ï.

ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ç á⮠㤮¡­¥¥ ®¯à¥¤¥«ïâì á ¯®¬®éìî

{ ¡¥§à §¬¥à­ë© í«¥¬¥­â ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ (1.10) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á㬬¨à®¢ ­¨î ¯® ¢á¥¬ à §«¨ç­ë¬ ª¢ ­â®¢ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ á¨á⥬ë. 4

᫨ äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (p; q; t) ¨§¢¥áâ­ , â® ¬ë ¬®¦¥¬, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥, ¢ë- ç¨á«¨âì ¢¥à®ïâ­®á⨠¨ á।­¨¥ §­ 祭¨ï «î¡ëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­, § ¢¨áïé¨å ®â ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ, á®áâ ¢«ïîé¨å à áᬠâਢ ¥¬ãî á¨á⥬ã. ।­¥¥ §­ 祭¨¥ â ª®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨­ë f(p; q) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

{ ä §®¢®¥ á।­¥¥. á।­¥­¨¥ á ¯®¬®éìî ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ®á¢®¡®¦¤ ¥â ­ á ®â ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠᫥¤¨âì § ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¨á⨭­®£® §­ 祭¨ï 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨­ë f(p; q) á® ¢à¥¬¥­¥¬ á ¯®á«¥¤ãî騬 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ ¥¥ á।­¥£® §­ 祭¨ï ¯® ¢à¥¬¥­¨.®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç «® ¡ë, çâ® á«¥¤ï § ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ­ 襩 ¢¥«¨ç¨­ë á® ¢à¥¬¥­¥¬ (¯à®¢®¤ï ¥¥ ¨§¬¥à¥­¨ï ¢ à §­ë¥ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨), ¬ë ¤®«¦­ë ¡ë«¨ ¡ë ¯®áâநâì äã­ªæ¨î f = f(t), ¯®á«¥ 祣® ¨áª®¬®¥ á।­¥¥ ®¯à¥¤¥«ï«®áì ¡ë ª ª:

{ ¢à¥¬¥­­®¥ ба¥¤­¥¥. ®®¡й¥ £®¢®ап, ¤®ª § в¥«мбв¢® нª¢¨¢ «¥­в­®бв¨ д §®¢®£® ¨ ¢а¥¬¥­­®£® гба¥¤­¥­¨п ¯а¥¤бв ¢«п¥в б®¡®© ¢¥бм¬ б«®¦­го (¨ ­¥ а¥и¥­­го ¤® ª®­ж ) ¯а®¡«¥¬г, б®бв ¢«пойго ᮤ¥а¦ ­¨¥ в ª ­ §л¢ ¥¬®© í࣮¤¨ç¥áª®© ⥮ਨ, ïî饩áï ®¤­¨¬ ¨§ à §¤¥«®¢ ᮢ६¥­­®© ¬ ⥬ ⨪¨ [10, 11]. ¯®á«¥¤­¨¥

4 ⬥⨬ § ¬¥ç ⥫ì­ë© ä ªâ, çâ® ¬­®¦¨â¥«ì N! ¢ §­ ¬¥­ ⥫¥ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ , § ¤®«£® ¤® ¯®ï¢«¥­¨ï ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨, ¢¢®¤¨« ¥é¥ ¨¡¡á, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¯ à - ¤®ªá , ­®áï饣® ¥£® ¨¬ï | ¢®§à áâ ­¨ï í­âய¨¨ ¯à¨ ᬥ襭¨¨ ®¤¨­ ª®¢ëå £ §®¢ ¯à¨ ®¤¨­ ª®¢®© ⥬¯¥à âãॠ¨ ®¤¨­ ª®¢®¬ ¤ ¢«¥­¨¨ [9].