Файл: Высшая математика для 1 и 2 курса.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1496

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Распределение Пуассона

Если вероятности возможных значений дискретной случайной ве-

личины ξ вычисляются по формуле Пуассона P (k ) = l k× e−λ , то рас-

n

k!

пределение называется распределением Пуассона. Его числовые характеристики:

M ξ = Dξ = np = λ ; sξ =

np

.

(12.39)

Закон равномерного распределения

Распределение непрерывной случайной величины ξ называется равномерным, если ее плотность вероятности постоянна на промежутке (a; b] , т. е. имеет вид:

0,

x £ a,

p(x) =

1

, a < x £ b,

(12.40)

b - a

x > b.

0,

Интегральная функция распределения имеет вид:

0,

x £ a,

- a

F (x) =

x

, a < x £ b,

(12.41)

b - a

1,

x > b.

Числовые характеристики равномерного распределения:

M

ξ

=

b + a

; D =

(b − a)2

; σ

ξ

=

b −

a

.

(12.42)

2

ξ

12

2

3

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (α; β) будет равна:

p(a < x < b) = β − α .

(12.43)

b - a

Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина называется распределенной по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

151

p(x)

0,

x < 0,

= le−λx ,

x ³ 0,

l > 0.

(12.44)

Интегральная функция распределения имеет вид:

0,

x < 0

(12.45)

F (x) =

0

1 - e−λx , x ³

Числовые характеристики:

M

ξ

=

1

; D =

1

; σ

ξ

=

1

(12.46)

λ

λ

ξ

λ2

Вероятность попадания в заданный интервал (α; β) будет равна:

p(a < x < b) = e−λα - e−λβ

(12.47)

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

p(x) =

1

−

( x−a )2

2

e

2σξ

(12.48)

σξ

2π

где M

ξ

= a ; D = σ2 .

ξ

ξ

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (α; β) вычисляется по формуле

p(α < ξ < β) = Φ

β − a

σ

ξ

α − a

− Φ σ . (12.49)ξ

Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания на величину δ равна;

δ

p(

ξ − M

< δ)= 2Φ

.

(12.50)

ξ

σ

ξ

Здесь Φ(x) =

1

x

2

∫ e

−

t

dt –

функция Лапласа;

F(-x) = -F(x) –

2

2π

0

функция нечетная;

F(0) = 0 ; F(x ³ 5) = 0,5 .

Значения функции F(x)

представлены в табл. П2.

152

Задача 13. Случайная величина ξ – время работы радиолампы – распределена по показательному закону. Среднее время работы лампы 400 часов. Найти вероятность того, что радиолампа проработает не менее 600 часов.

Решение. По условию

M ξ = 400 . Для показательного закона

распределения M

ξ

=

1

= 400 . Следовательно, λ =

1

. Искомую веро-

λ

400

ятность p(x ³ 600) будем искать, используя вероятность противоположного события и формулу (12.47):

−

0

- e

− 600400

= e

−

3

» 0,22 .

400

2

p(ξ ³ 600) = 1 - p(0 £ ξ < 600) = 1 - e

Задача 14. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10.

Найти:

а) вероятность попадания

случайной

величины в интервал

(20; 50);

ξ − Мξ

< σξ ) .

б) вероятность p(

β = 50;

Решение. а) По

условию

α = 20 ;

a = 30 ; σ = 10 . По фор-

муле (12.49) и табл. П2 получим:

50 − 30

20 − 30

p(20 < ξ < 50) = Φ

− Φ

= Φ(2) − Φ(− 1) = Φ(2) + Φ(1) =

10

10

= 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

б) По формуле (12.50) получим:

p(

x - М

< s

) =

2F

sξ

= 2F(1) = 2

× 0,3413 = 0,6826 .

ξ

ξ

sξ

153

- xmin .

Тема 13. Математическая статистика

13.1. Статистический ряд и его описание

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые, однородные, случайные явления, на основе изучения статистических данных – результатов наблюдений.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений случайной величины ξ.

Выборкой объема n называется множество x1, x2 , ×××, xn наблюдае-

мых значений изучаемой случайной величины, которые соответствуют n независимым испытаниям (опытам).

Размах выборки W – разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки: W = xmax

Статистический ряд – совокупность пар (xi , ni ), i = 1, k , где xi

− разные элементы выборки,

ni частота появления выборочного зна-

k

чения xi . Очевидно, что ∑ni

= n .

ni

i =1

Величины ω =

, i =

1, k

называются относительными частотами

i

n

k

и для них ∑ωi

= 1.

i=1

Обычно статистический ряд записывают в виде табл. 13 1.

Таблица 13.1

xi

x1

x2

...

xk

ni

n1

n2

...

nk

ωi

n1

n2

...

nk

n

n

n

При изучении непрерывной случайной величины или при большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы и записывают интервальный статистический ряд (табл. 13.2).

Если все интервалы имеют одинаковую длину h, то h = W . Коли- k

чество интервалов выбирают по формуле

154

k = 1 + 3,2 lg n .

(13.1)

Таблица 13.2

Интервал

[ xmin ; x2 )

[x2 ; x3 )

...

[xk ; xmax ]

Середина интервала

x1*

x*2

...

x*k

Частота

n1

n2

...

nk

Относительная

n1

n2

...

nk

частота

n

n

n

Полигоном частот статистического ряда называется ломаная линия с вершинами в точках (xi ; ni ), i = 1, k .

Полигоном относительных частот статистического ряда назы-

n

вается ломаная линия с вершинами в точках

xi

;

i

, i = 1, k .

n

Гистограммой относительных частот статистического интер-

вального ряда называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группирования с высотой

прямоугольников ni . Площадь каждого прямоугольника равна ni , а

nh

n

сумма площадей всех прямоугольников равна 1.

Эмпирической функцией распределения F * (x)

называется

функция

F * (x) = ∑

ni

.

(13.2)

xi < x n

Эта функция непрерывна слева, обладает всеми свойствами функции распределения случайной величиныF (x) = P(ξ < x) и является приближенным представлением последней.

13.2. Статистическая оценка параметров распределения

Анализ полигона, гистограммы и эмпирической функции распределения дает возможность сделать предположение о законе распределения изучаемой случайной величины. Данный закон может быть установлен и на основании теоретических предположений.

Затем возникает задача оценки параметров предполагаемого закона распределения по полученной выборке. Оценкой параметра на-

155

Смотрите также файлы