ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1422
Скачиваний: 2
Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. М. Волк, В. В. Игнатенко
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений
Республики Беларусь по химико-технологическому образованию в качестве учебно-методического пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по специальностям 1-48 01 01 «Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий», 1-48 01 02 «Химическая технология
органических веществ, материалов и изделий», 1-48 02 01 «Биотехнология»
Минск 2010
УДК 51(075.4)
ББК 22я73
В67
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой методов оптимального управления БГУ
А. И. Калинин;
кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики № 2 БНТУ
В. В. Карпук
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или ее части не может быть осуществлено без разрешения учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет».
Волк, А. М.
В67 Высшая математика : учеб.-метод. пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 1-48 01 01 «Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий», 1-48 01 02 «Химическая технология органических веществ, материалов и изделий», 1-48 02 01 «Биотехнология» / А. М. Волк, В. В. Игнатенко. – Минск : БГТУ, 2010. – 197 с.
ISBN 978-985-530-002-2.
В учебно-методическом пособии приведена программа по высшей математике, изложены основные теоретические сведения по курсу высшей математики, представлены решения типовых задач с рекомендациями, контрольные задания, также содержится рекомендуемая литература и приложение.
Предназначено для студентов специальностей «Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий», «Химическая технология органических веществ, материалов и изделий» и «Биотехнология» заочной формы обучения, также может быть использовано для подготовки учащихся других специальностей.
УДК 51(075.4)
ББК 22я73
ISBN 978-985-530-002-2 © УО «Белорусский государственный технологический университет», 2010
© Волк А. М., Игнатенко В. В., 2010
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................ |
7 |
ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»................... |
8 |
Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической |
8 |
геометрии......................................................................................... |
|
Тема 2. Введение в математический анализ................................ |
8 |
Тема 3. Дифференциальное исчисление функции |
9 |
одной переменной........................................................................... |
|
Тема 4. Исследование функций с помощью производных........ |
9 |
Тема 5. Неопределенный интеграл............................................... |
10 |
Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы.... |
10 |
Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения............. |
10 |
Тема 8. Функции нескольких переменных.................................. |
11 |
Тема 9. Ряды.................................................................................... |
12 |
Тема 10. Кратные интегралы......................................................... |
12 |
Тема 11. Криволинейные и поверхностные интегралы |
12 |
и теория поля................................................................................... |
|
Тема 12. Теория вероятностей....................................................... |
13 |
Тема 13. Элементы математической статистики......................... |
14 |
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ |
15 |
ГЕОМЕТРИИ ............................................................................. |
|
1.1. Элементы линейной алгебры ................................................. |
15 |
1.2. Основные сведения из векторной алгебры........................... |
18 |
1.3. Основные сведения из аналитической геометрии ............... |
21 |
1.4. Полярная система координат................................................. |
28 |
2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ....................... |
38 |
2.1. Понятие предела функции и основные теоремы о пределах |
38 |
2.2. Непрерывность функции ........................................................ |
42 |
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ |
47 |
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ........................................................... |
|
3.1. Производная. Правила вычисления производных. Таблица |
47 |
производных.................................................................................... |
|
3.2. Логарифмическое дифференцирование................................ |
50 |
3.3. Производныефункций, заданныхнеявноипараметрически |
51 |
3.4. Производные высших порядков............................................. |
52 |
4. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ |
|
ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ............................ |
55 |
4.1. Возрастание и убывание функции......................................... |
55 |
3
4.2. Экстремумы функции ............................................................. |
56 |
4.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке |
58 |
4.4. Асимптоты графика функции ................................................ |
58 |
4.5. Выпуклость и вогнутость графика функции........................ |
60 |
4.6. Общая схема исследования функции |
|
и построения графика ............................................................. |
61 |
5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.......................................... |
67 |
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл ........................ |
67 |
5.2. Вычисление неопределенного интеграла методом замены |
68 |
переменной...................................................................................... |
|
5.3. Вычисление неопределенного интеграла методом |
69 |
интегрирования по частям............................................................. |
|
5.4. Интегрирование рациональных функций............................. |
71 |
5.5. Интегрирование простейших иррациональностей............... |
74 |
5.6. Интегрирование некоторых тригонометрических |
75 |
функций ................................................................................... |
|
6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................................. |
77 |
6.1. Определенный интеграл и его свойства. Формула |
77 |
Ньютона – Лейбница............................................................... |
|
6.2. Вычисление определенного интеграла методом |
78 |
интегрирования по частям и методом замены переменной....... |
|
6.3. Применение определенного интеграла для вычисления |
79 |
площадей плоских фигур............................................................... |
|
6.4. Применение определенного интеграла для вычисления |
82 |
длин дуг плоских кривых............................................................... |
|
6.5. Применение определенного интеграла для вычисления |
84 |
объемов тел вращения.................................................................... |
|
6.6. Несобственные интегралы...................................................... |
85 |
7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
87 |
7.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|
1-го порядка. Решение дифференциальных уравнений |
87 |
с разделяющимися переменными, однородных и линейных..... |
|
7.2. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка, |
90 |
допускающих понижение порядка ............................................... |
|
7.3. Решение линейных дифференциальных уравнений |
|
2-го порядка с постоянными коэффициентами |
93 |
и специальной правой частью....................................................... |
|
7.4. Решение систем дифференциальных уравнений.................. |
98 |
4
8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.......................... |
100 |
8.1. Частные производные функции двух переменных.............. |
100 |
8.2. Экстремум функции двух переменных................................. |
101 |
9. ÐßÄÛ..................................................................................... |
103 |
9.1. Числовые ряды......................................................................... |
103 |
9.2. Степенные ряды....................................................................... |
108 |
9.3. Ряды Тейлора и Маклорена.................................................... |
111 |
10. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ....................................................... |
114 |
10.1. Двойные интегралы, их вычисление в декартовой |
114 |
и полярной системах координатах................................................ |
|
10.2. Тройные интегралы, их вычисление в декартовых |
|
и цилиндрических системах координат....................................... |
118 |
10.3. Криволинейные интегралы................................................... |
121 |
11. ТЕОРИЯ ПОЛЯ ................................................................... |
124 |
11.1. Скалярное поле...................................................................... |
124 |
11.2. Векторное поле...................................................................... |
126 |
12. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.................................................. |
130 |
12.1. Случайные события и их классификация........................... |
130 |
12.2. Классическое определение вероятности. Свойства |
132 |
вероятности..................................................................................... |
|
12.3. Элементы комбинаторики.................................................... |
132 |
12.4. Основные теоремы вероятностей случайных событий..... |
134 |
12.5. Схема испытаний Бернулли................................................. |
138 |
12.6. Случайные величины............................................................ |
140 |
12.7. Числовые характеристики случайных величин............... |
144 |
12.8. Некоторые законы распределения случайных величин |
148 |
13. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ................................... |
152 |
13.1. Статистический ряд и его описание.................................... |
152 |
13.2. Статистическая оценка параметров распределения .......... |
153 |
13.3. Эмпирические зависимости. Метод наименьших |
159 |
квадратов......................................................................................... |
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ................................... |
163 |
Тема 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры |
163 |
и аналитической геометрии........................................................... |
|
Тема 2. Предел и непрерывность функции.................................. |
165 |
Тема 3. Производная и ее вычисление......................................... |
167 |
5
Тема 4. Исследование функций и построение графиков............ |
169 |
||
Тема 5. Неопределенный интеграл и его вычисление................ |
170 |
||
Тема 6. |
Определенный интеграл и его применение.................... |
172 |
|
Тема 7. |
Обыкновенные дифференциальные уравнения............. |
173 |
|
Тема 8. |
Функции нескольких переменных.................................. |
176 |
|
Тема 9. |
Числовые и степенные ряды............................................ |
178 |
|
Тема 10. |
Кратные и криволинейные интегралы, |
180 |
|
их применение................................................................................. |
|||
Тема 12. |
Теория вероятностей....................................................... |
183 |
|
Тема 13. |
Математическая статистика........................................... |
189 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 1...................................................................... |
192 |
||
ПРИЛОЖЕНИЕ 2...................................................................... |
193 |
||
ПРИЛОЖЕНИЕ 3...................................................................... |
195 |
||
ЛИТЕРАТУРА...................................................................................... |
196 |
||
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшая математика» предназначено для выполнения контрольных работ и подготовки к экзаменам студентами химико-технологических специальностей заочной формы обучения, для которых типовыми учебными планами предусмотрено изучение курса высшей математики в объеме
524–570 часов.
Данное учебное издание также может быть использовано для подготовки учащихся других специальностей.
Издание полностью соответствует образовательному стандарту и программе дисциплины, содержит программу, изложение теоретических вопросов программы, решение типовых задач с подробными пояснениями и рекомендациями, контрольные задания по 13-ти основным разделам высшей математики, приложение и список рекомендуемой литературы.
По каждой теме в теоретическом разделе приведены основные понятия и определения, теоремы и формулы, необходимые для выполнения контрольных работ. Затем даны образцы решения задач, аналогичных задачам контрольных работ.
Структура учебно-методического пособия позволит студенту самостоятельно проработать материал и выполнить контрольные работы, не прибегая к посторонней помощи.
Содержание издания служит рационализации учебного процесса, дает возможность студентам самостоятельно усваивать учебный материал, способствует повышению качества подготовки специалистов в высших учебных заведениях.
Предлагаемый материал излагается в логической последовательности, что позволяет при изучении определенной темы использовать усвоенные знания по предыдущим разделам. Работа написана ясным математическим языком. Удачно сочетается строгость изложения и доступность материала. Многие примеры для наглядности иллюстрируются рисунками.
В процессе подготовки к выполнению контрольной работы рекомендуется изучить теоретические сведения, разобраться с решениями предложенных типовых задач, решить несколько аналогичных задач, ответы на которые известны, и только после этого переходить к выполнению контрольной работы.
7