МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 26

з теми: «Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.04 Інтегрування за допомогою степеневих рядів

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання диференціальних рівнянь необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 26.

Тема: «Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.»

План лекції № 26.

1. Методи інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою ступеневих рядів.

В некоторых случаях, когда интегрирование дифференциальных уравнений в элементарных функциях невозможно, решение уравнения ищут в виде степенного ряда . Неопределенные коэффициенты находят подстановкой ряда в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях .

---

Когда уравнению ставится задача Коши, , решение ищут в виде ряда Тейлора.

Пример:

Проинтегрировать уравнение .

Подставим и в исходное уравнение

Группируем одинаковые степени:

Приравниваем коэффициенты к 0:

Ищем последовательно все члены ряда:

Ряды сходятся и определяют решение дифференциального уравнения.

Наближене розв’язання диференціальних рівнянь

Якщо розв’язок диференціального рівняння не виражається через елементарні функції в кінцевому вигляді або спосіб його розв’язання складний, то для наближеного розв’язання рівняння можна скористатися рядом Тейлора.

Ознайомимося з двома способами розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

Нехай, наприклад, треба розв’язати рівняння

(1)

яке задовольняє початковим умовам

. (2)

Розглянемо спосіб послідовного диференціювання.

Розв’язок рівняння (22) шукаємо у вигляді ряду Тейлора:

---

, (3)

при цьому перші два коефіцієнти знаходимо з початкових умов (2). Підставивши в рівняння (1) їх значення, обчислимо значення третього коефіцієнта: Значення знаходимо шляхом послідовного диференціювання рівняння (1) по х і обчислення похідних при Знайдені значення похідних (коефіцієнтів) підставляємо до формули (3). Ряд (3) є частинним розв’язком рівняння (1) для тих значень х, при яких він є збіжним. Часткова сума цього ряду буде наближеним розв’язком диференціального рівняння (1).

Цим способом можна шукати і загальний розв’язок рівняння (1), якщо і розглядати як довільні постійні.

Спосіб послідовного диференціювання застосовується для розв’язанняння диференціальних рівнянь будь-якого порядку.

Приклад. Методом послідовного диференціювання знайти п'ять перших членів (відмінних від нуля) розкладання у ряд розв’язку рівняння

Розв’язання. Шукатимемо розв’язок рівняння у вигляді

При цьому

Знаходимо, підставивши х = -1 до початкового рівняння. Для знаходження наступних коеффіцієнтів диференціюємо задане диференціальне рівняння:

При х = -1 маємо:

,

,

---

Підставляючи знайдені значення похідних до даного ряду, отримаємо:

Розглянемо тепер спосіб невизначених коефіцієнтів.

Цей спосіб наближеного розв’язання найбільш зручний для інтегрування лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

Нехай, наприклад, треба розв’язати рівняння

(4)

з початковими умовами

Припускаючи, що коефіцієнти p₁(x), p₂(x) і вільний член f(x) розкладаються у ряди за степенями х-х_0, що збігаються в деякому інтервалі, розв’язок шукаємо у вигляді степеневого ряду

(5)

з невизначеними коефіцієнтами.

Коефіцієнти с₀ і с₁ при цьому обчислюються за допомогою початкових умов с_{0 =} у₀, с₁ = .

Для знаходження подальших коефіцієнтів диференціюємо ряд (5) двічі (який порядок рівняння) і підставляємо вирази для функції у і її похідних до рівняння (4), замінивши в ньому їх розкладаннями. У підсумку отримаємо тотожність, з якої методом невизначених коефіцієнтів знайдемо інші коефіцієнти. Знайдений ряд (5) є збіжним у тому ж інтервалі і є розв’язком рівняння (4).

Приклад. Знайти розв’язок рівняння

, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

Розв’язання. Розкладемо коефіцієнти рівняння в степеневі ряди:

Шукаємо розв’язок рівняння у вигляді ряду

---

Смотрите также файлы

• Пакет матер для ККР - др.doc

• ккр-др.doc

• Интернет.docx

• раздаточный материал.doc

• ПРОГРАММА П.З.doc