МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 23

з теми: «Загальний розв’язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.05 Система звичайних диференціальних рівнянь

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальний розв’язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

Мета:

• Дидактична: розглянути метод Ейлера розв’язання систем лінійних неоднорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Міжпредметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Загальний розв’язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 23.

Тема: Загальний розв’язок системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь

План лекції № 23.

1. Розв'язання системи неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

2. Жорданов базис. Побудова розв’язків системи в залежності від базису.

Неоднорідні системи

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

---

, (55)

яка називається лінійною неоднорідною системою звичайних диференціальних рівнянь.

Теорема 11 Якщо – розв’язок неоднорідної системи, тобто , а – розв’язок однорідної системи , то сума є розв’язком неоднорідної системи.

Доведення. Дійсно

.

Теорема 12. Загальний розв’язок неоднорідної системи (55) можна записати у вигляді суми загального розв’язку однорідного і частинного неоднорідного.

Доведення. Нехай – інтегральна матриця однорідної системи, – частинний розв’язок неоднорідної системи. Тоді

(56)

в силу теореми 11 – розв’язок системи однорідних диференціальних рівнянь (55).

Для доведення теореми досить показати, що система алгебраїчних рівнянь

, (57)

де – довільний початковий вектор, має єдиний розв’язок . Так як – інтегральна матриця, то в такому випадку вона має обернену на . Тому . Теорема доведена.

Метод варіації довільної сталої

Загальний розв’язок системи однорідних диференціальних рівнянь (28) запишемо у формі

, (58)

де – довільні сталі.

Розв’язок лінійної системи диференціальних рівнянь (55) шукаємо у вигляді

---

, (59)

де невідомі функції.

Підставляючи (7.33) в (7.29) отримаємо

Так як , то остаточно функції шукаємо з системи диференціальних рівнянь

. (60)

Визначник системи (60) , якщо – фундаментальна система рівнянь. З (60) визначаємо

.

Звідки

.

Тому

(61)

– загальний розв’язок диференціального рівняння (55).

Формула Коші

Розглянемо задачу Коші

. (62)

Припустимо, що ми знаємо матрицю , яка нормована по моменту

. (63)

Шукаємо розв’язок задачі Коші (62) у вигляді

. (64)

Підставляючи (64) в (62) отримаємо

.

Звідки , тобто

.

Але , тому

.

Враховуючи, що , остаточно запишемо

. (65)

---

Формула (65) називається формулою Коші.

Приклад 2. Розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь

.

Розв'язання. Приведемо дану систему до диференціального рівняння другого порядку

.

Звідки отримаємо диференціальне рівняння

.

Запишемо та розв’яжемо характеристичне рівняння . Знайдемо . Тоді

,

– загальний розв’язок.

Приклад 3. Розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь

.

Розв'язання. Складемо і віднімемо почленно два рівняння, отримаємо

,

.

Звідки , , тобто

– загальний розв'язок нашої системи.

Приклад 4. Перевірити, чи є першим інтегралом системи

(66)

функції а); б).

Розв'язання. Обчислимо повні похідні по t від заданих функцій на розв'язках системи (66).

а) – є інтегралом;

б) – не є інтегралом.

Домашнє завдання: [3], стор. 192-199.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 22.doc

• лекция № 21.doc

• лекция № 20.doc

• лекция № 19.doc

• лекция № 18.doc