МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 19

з теми: «Загальний розв’язок нормальної лінійної однорідної системи зі сталими коефіцієнтами.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.04.05 Система звичайних диференціальних рівнянь

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Мета:

• Дидактична: розглянути загальний метод розв’язання систем лінійних однорідних та неоднорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

• Виховна: розвивати вміння аналізувати алгоритм розв’язання рівняння, увагу, чіткість та послідовну логічність мислення.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, пояснювально-ілюстративний.

Науково-методичне забезпечення:

---

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами; загальні визначення щодо систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Метод виключення розв'язання системи.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 19.

Тема: Загальний розв'язок системи однорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

План лекції № 19.

1. Основні поняття теорії систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Лінійні системи звичайних диференціальних рівнянь

Однорідні системи

Розглянемо лінійну однорідну систему звичайних диференціальних рівнянь

, (27)

або в матричній формі

. (28)

Тут – неперервна за матриця розмірності . Якщо функції – вектор-розв’язки системи (28),то і

, (29)

де – довільні сталі, теж є розв’язком системи (28).

Дійсно, введемо оператор

, (30)

який має властивості:

а) ;

б) .

З допомогою оператора систему диференціальних рівнянь (28) запишемо так

. (31)

Якщо , то в силу властивостей а), б) функція (29) також є розв’язком системи (28).

Лінійно незалежні розв’язки. Теореми про лінійно залежні і незалежні розв’язки

Означення  Вектор-розв’язки системи диференціальних рівнянь (28) називаються лінійно залежними на , якщо існують такі сталі , які не дорівнюють нулю одночасно, що

---

,

в противному випадку система розв’язків називається лінійно незалежною на .

Теорема  Якщо для всіх система векторів

(32)

лінійно залежна, то відповідні їм розв’язки системи диференціальних рівнянь (28) також лінійно залежні.

Доведення. Припустимо, що вектори (32) лінійно залежні, тобто

, (33)

де не всі дорівнюють нулю. Розглянемо вектор-функцію з тими ж сталими

. (34)

Вектор задовольняє системі диференціальних рівнянь (28) і , в силу (33), . На основі теореми існування і єдиності отримуємо, що

. (35)

Співвідношення (35) означає, що лінійно залежні.

Означення  Система лінійно незалежних розв’язків

(36)

системи диференціальних рівнянь (28) називається фундаментальною системою розв’язків або базисом цієї системи рівнянь.

Теорема  Система звичайних диференціальних рівнянь (28) має фундаментальну систему розв’язків. Якщо (36) – фундаментальна система розв’язків системи диференціальних рівнянь (28), то загальний розв’язок записується у вигляді

, (37)

де – довільні сталі.

Доведення. Доведемо першу частину теореми. Задамо систему з лінійно незалежних векторів . Побудуємо систему розв’язків для системи диференціальних рівнянь (28) з початковими умовами . Так як вектори лінійно незалежні, то в силу теореми (7) вектори також є лінійно незалежними, тобто складають фундаментальну систему розвязків.

---

Доведемо другу частину теореми, тобто покажемо, що з допомогою формули (37) можна розв’язати будь-яку задачу Коші

. (38)

Покажемо, що розв’язок задачі (38) можна записати в вигляді

, (39)

де – постійні числа.

Числа визначаються з системи

, (40)

так як вектори лінійно незалежні, то по теоремі 7 вектори також є лінійно незалежними. Тому визначник системи (40) відмінний від нуля. Таким чином, система (40) має єдиний розв’язок . Теорема доведена.

Інтегральна (фундаментальна) матриця

Введемо матрицю розміром , яка складається з лінійно незалежних розв’язків системи (28)

. (41)

Ясно, що матриця задовольняє матричне диференціальне рівняння

. (42)

Матриця називається інтегральною, або фундаментальною.

Якщо – фундаментальна матриця розв’язків, то і , де – довільна неособлива матриця розмірності , також є фундаментальною. Дійсно

.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 18.doc

• лекция № 9.doc

• лекция № 8.doc

• лекция № 7.doc

• лекция № 6.doc