ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.06.2025
Просмотров: 1095
Скачиваний: 1
63
5 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
b
ò f (x)dx = F(b)–F(a),
a
где F′(x) = f(x).
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление определенного интеграла называется механиче-
ской квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными формулами.
Обычный прием механической квадратуры состоит в том, что данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют интерполирующей (аппроксимирующей) функцией ϕ(x) простого вида, например, полиномом, а затем приближенно полагают
b |
b |
|
ò f ( x )dx = òϕ( x )dx . |
(1) |
|
a |
a |
|
Функция ϕ(x) должна быть такова, чтобы интеграл в правой части формулы (1) вычислялся непосредственно. В зависимости от вида функции ϕ(x), интерполирующей подынтегральную функцию, будем получать различные квадратурные формулы.
5.1 Квадратурная формула прямоугольников
Для приближенного вычисления определенного интеграла (1) разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками:
x0 = a,
x1 = x0+h,
...
xi = xi-1+h,
...
xn = b,
где h – шаг разбиения, h = b −n a .
Значение функции в точках разбиения xi обозначим через yi. Если теперь на каждой части [xi-1, xi], i = 1, 2, ..., n деления отрезка [a, b] функцию f(x) заменить функцией, принимающей постоянное значение, равное значению функции f(x) в серединной точке i-ой части
xi−1 + xi , 2
то функция ϕ(x) будет иметь ступенчатый вид (рис. 1):
64
y |
ϕ(x) |
yi |
f(x) |
yi-1/2 |
|
yi-1 |
xi-1 |
xi-1/2 |
xi |
xi+1/2 |
xi+1 |
х |
Рис. 1
ϕ(x) = ϕi(x) = yi-1/2 = f(xi-1/2), x [xi-1, xi], i =1, ..., n.
В этом случае
b |
n |
xi |
n |
|
òϕ( x )dx = å |
ò |
ϕi( x )dx = åhyi−1 / 2 |
||
a |
i=1 xi −1 |
i=1 |
||
и получаем квадратурную формулу прямоугольников |
||||
b |
n−1 |
|||
In = ò f ( x )dx ≈ h(y1/2 + y3/2 + ... + yi-1/2 + ... + yn-1/2)=h å yi+1 / 2 |
(2) |
|||
a |
i=0 |
|||
5.2 Квадратурная формула трапеций
Квадратурную формулу трапеций получают, если функцию f(x) на каждом отрезке [xi-1, xi] заменить ее линейной интерполяцией по точкам (xi-1, yi-1) и (xi, yi). Тогда
ϕ(x) = ϕi(x) = yi-1 |
xi − x |
+ yi |
x − xi −1 |
, x [xi-1, xi], i = 1, 2, ..., n, |
(3) |
|
h |
h |
|||||
где yi = f(xi).
Графиком этой функции является ломаная линия (рис. 2).
y
h h
xi-1 |
xi |
xi+1 |
x |
Рис. 2
65
В этом случае
b |
n |
xi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òj(x)dx = å |
òji (x)dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
i=1 xi−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как с учетом формулы (3) имеем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
xi - x |
x - xi−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òiϕi (x)dx = òi |
(yi−1 |
+ yi |
)dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi−1 |
xi−1 |
h |
h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
yi−1 |
(x x - |
x2 |
) |
xi |
+ |
yi |
( |
x2 |
- x |
−1 |
x) |
xi |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h |
i |
2 |
xi−1 |
h 2 |
i |
xi−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
yi−1 |
((x2 |
- |
xi2 |
) - (x x |
- |
xi2−1 |
)) + |
yi |
(( |
xi2 |
- x |
i |
−1 |
x |
) - ( |
xi2−1 |
- x2 |
)) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h |
i |
2 |
i i −1 |
2 |
h |
2 |
i |
2 |
i−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
i−1 |
x2 |
x2 |
y |
i |
x2 |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
( |
i |
- x x |
i−1 |
+ |
i−1 |
) + |
( |
i |
- x |
x + |
i |
−1 |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h |
2 |
i |
2 |
h |
2 |
i |
−1 |
i |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и, учитывая, что |
h2 |
)2 |
x2 |
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x - x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
i |
i |
−1 |
= |
i |
– xixi–1 + |
i |
−1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yi−1 |
h2 |
yi |
h2 |
yi −1 + yi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òiϕi (x)dx = |
+ |
= |
h. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi−1 |
h |
h |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
y |
i −1 |
+ y |
i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òϕ(x)dx = å |
× h, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
i=1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и получаем квадратурную формулу трапеций
b |
+ yn |
y0 |
+ yn |
n−1 |
|||
Iт = ò f (x)dx » h( |
y0 |
+ y1 + y2 + ... + yn-1)= h( |
+ å yi ) |
(4) |
|||
2 |
2 |
||||||
a |
i =1 |
||||||
5.3 Квадратурная формула парабол (Симпсона)
Выполним интерполирование подынтегральной функции полиномом Лагранжа P2(x) второго порядка. На отрезке [xi-1, xi] интерполяционный полином, представляющий собой параболу (рис. 3), будет иметь вид:
P2(x) = ϕi(x) = yi–1 |
(x − xi−1/ 2 )(x − xi ) |
+ |
|||
(x |
- x |
)(x |
- x ) |
||
i−1 |
i−1/ 2 |
i−1 |
i |
||
66
+ y |
(x − xi−1)(x − xi ) |
+ y |
(x − xi−1)(x − xi−1/ 2 ) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
i−1/ 2 (x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1/ 2 |
- x |
)(x |
- x ) |
i (x - x |
)(x - x |
) |
||||||||||||||||||||||||||||
i |
i−1 |
i−1/ 2 |
i |
i i−1 |
i |
i−1/ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||
= yi−1 |
(x − xi−1/ 2 )(x − xi ) |
+ yi−1/ 2 |
(x − xi−1)(x − xi ) |
+ yi |
(x − xi−1)(x − xi−1/ 2 ) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
- |
h |
× (-h) |
h |
× (- |
h |
) |
h × |
h |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= yi −1 |
2(x − xi −1/ 2 )(x − xi ) |
+ yi−1/ 2 − 4(x − xi−1)(x − xi ) + yi |
2(x − xi−1)(x − xi−1/ 2 ) |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
h2 |
h2 |
h2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
где x [xi–1, xi], |
xi–i/2 = |
xi−1 + xi |
, i = 1, 2, ..., n. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
yi-1/2 |
f(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
yi-1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
h/2 |
h/2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
xi-1 |
xi-1/2 |
xi |
x |
Рис. 3
Для дальнейших преобразований введем переменную t Î [0, 1] и с помощью равенства x = xi–1+ht выразим ϕi(x) через новую переменную t
~ |
2( xi−1 + ht − xi−1/ 2 )( xi−1 |
+ ht − xi ) |
||||||||||||||
ϕi(x) = ϕ i(t) = yi−1 |
+ yi−1/ 2 ´ |
|||||||||||||||
h2 |
||||||||||||||||
´ − 4(xi−1 + ht − xi −1)(xi−1 + ht − xi ) |
+ yi |
2(xi −1 + ht − xi−1)(xi−1 + ht − xi −1/ 2 ) |
= |
|||||||||||||
h2 |
h2 |
|||||||||||||||
h |
h |
|||||||||||||||
2(ht - |
)(ht - h) |
- 4ht(ht - h) |
2ht(ht - |
) |
||||||||||||
= yi −1 |
2 |
+ yi−1/ 2 |
+ yi |
2 |
= yi −1(2t -1)(t -1) + |
|||||||||||
h2 |
h2 |
h2 |
||||||||||||||
+ yi −1/ 2 (-4t(t -1)) + yit(2t -1) = yi−1(1 - t)(1 - 2t) + 4yi−1/ 2t(1 - t) + yit(2t -1) =
= yi−1(1 - 3t + 2t2 ) + 4yi−1/ 2 (t - t2 ) + yi (2t2 - t), i = 1, 2, ..., n.
Учитывая, что
67
1 |
(1 - 3t + 2t2 )dt = t - |
3t2 |
2t3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
+ |
0 |
=1 |
- |
+ |
= |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
2 |
3 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
(t - t2 )dt = |
t2 |
t3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
- |
0 |
= |
- |
= |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
2 |
3 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
(2t2 |
- t)dt = |
2t3 |
t2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
- |
0 |
= |
- |
= |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
2 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
x = xi−1 + ht |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n xi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
dx = h × dt |
n |
1 |
~ |
n |
h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
òj( x )dx = å òji ( x )dx = |
= åhòji ( t )dt = å |
( yi−1 |
+ 4 yi−1 / 2 |
+ yi ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = x |
при t = 0 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
i=1 |
xi−1 |
i=1 |
0 |
i =1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = xi при |
t = 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В результате приходим к квадратурной формуле парабол (формуле Симпсона):
b |
h |
n−1 |
|
Ic = ò f (x)dx » |
(y0 + yn + 4å yi +1/ 2 |
||
6 |
|||
a |
i=0 |
n−1 |
|
+ 2å yi ). |
(5) |
i =1
Приближенное значение интеграла, Ic, вычисленное по квадратурной формуле парабол (5), можно выразить через значения In и IT – результаты вычислений по квадратурным формулам прямоугольников (2) и трапеций (4):
Ic = |
4In + 2IT |
= |
2In + IT |
. |
(6) |
|
6 |
3 |
|||||
5.4 Оценка погрешностей квадратурных формул
Для оценки погрешности квадратурных формул потребуем, чтобы подынтегральная функция имела непрерывную производную до четвертого порядка. Тогда:
для формулы прямоугольников
R(h) £ h |
2 |
× |
b − a |
max |
f '' ( x ) |
= |
( b - a )3 |
max |
f '' ( x ) |
; |
(7) |
|||||
24 |
24n2 |
|||||||||||||||
a≤x≤b |
a≤x≤b |
|||||||||||||||
для формулы трапеций
R(h) £ h |
2 |
× |
b − a |
max |
f '' ( x ) |
= |
( b - a )3 |
max |
f '' ( x ) |
; |
(8) |
|||||
12 |
12n2 |
|||||||||||||||
a≤x≤b |
a≤x≤b |
|||||||||||||||