Файл: механики-полн(часть1).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.07.2025

Просмотров: 511

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

17

Lz = Jz ω,

где ω - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z ,

Jz ω = const,

где Jz - момент инерции системы тел относительно оси z ; ω - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

Ек=1/2Jzω2, или Ек=Lz2/(2Jz).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

Пример 1. Движение тела массой 0.1 кг задано уравнением x=2t3+t2+t-1. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце первой секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от координаты по времени:

v =

dx

,

v=6t2+2t+1.

dt

Мгновенное ускорение - это первая производная от скорости по времени: a = dvdt ,

a=12t+2.

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma, где "а", согласно условию задачи, - ускорение в конце первой секунды. Тогда F=m×(12t+2). При t=1 с

F = 0.1 кг×(12+2) м/с2 = 1,4 Н Ответ: v=6t2+2t+1; a=12t+2; F=1,4 Н.

Пример 2.

Сплошной цилиндр массой 0,5 кг и радиусом 0,02 м вращается

относительно оси,

совпадающей с осью цилиндра по закону j=12+8t-0,5t2. На цилиндр

действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.

Решение: Цилиндр вращается относительно оси, совпадающей с его осью, по закону

j=12+8t-0,5t2.

Угловое ускорение определяется как вторая производная от угла поворота по времени:

ε =

d2

ϕ

или

ε =

dω

,

dt

2

dt

где w - угловая скорость, равная первой производной от угла поворота по времени

ω =

dϕ

,

w=8-t.

dt

Тогда e= - 1 рад/с2.

Момент силы относительно оси вращения

r

или M=Frsina.

M = [rF]

Сила действует касательно к поверхности, поэтому sina=1, тогда

M=Fr, откуда

F =

M

.

(1)

r

Тормозящий момент можно определить из основного уравнения динамики

вращательного движения:

M=I e,

(2)

где I - момент инерции цилиндра относительно оси вращения. В данном случае ось

вращения совпадает с осью цилиндра, поэтому

I =

1

mr 2 .

(3)

2

Подставляя выражение (3) в формулу (2), имеем

M = 12 mr 2ε ,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

19

M =

1 × 0,5кг × (0,02м)2 × (-1рад) = -1×10−4 Н × м,

2

с2

F = M ,

r

F= -1×10−4 Н × м

= -5 ×10−3 Н.

0,2м

Ответ: F= -5×10-3 Н; М=-1×10-4 Н×м.

Пример 3. Тело массой m1=1 кг ударяется о неподвижное тело массой m2=4 кг. Считая

удар центральным и абсолютно упругим, найти, какую часть энергии передает первое тело

второму при ударе.

Решение:

m 1

m 2

m 1

m 2

v1

u1

u2

0

X

До взаимодействия

После взаимодействия

Рисунок 1 - Абсолютно упругое взаимодействие тел

Поскольку удар абсолютно упругий, выполняется закон сохранения энергии:

m v2

m

2

v2

m

u2

m

u2

1 1

+

2

=

1

1

+

2

2

,

(1)

2

2

2

2

где v1, v2, u1, u2 - скорости тел до и после удара, соответственно. Кинетическая энергия второго тела до удара была равна 0. После удара изменение энергии второго тела DТ2=Т2, где Т2 - кинетическая энергия второго тела после удара. По определению

T =

m2u22

;

T =

m1v12

.

2

2

1

2

Так как удар центральный и абсолютно упругий, то выполняется закон сохранения импульса:

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ,

(2)

Выберем координатную ось так, как показано на рисунке 1. В проекции на ось ОХ уравнение (2) принимает вид:

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ,

(3)

Поскольку v2=0, то выражения (1) и (3) можно переписать в виде:

m v2

m

u2

m

u2

1 1

=

1

1

+

2

2

,

(4)

2

2

2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

20

m1v1 = m1u1 + m2v2 .

(5)

Решая систему уравнений (4)-(5), находим:

u 2 =

2m1v1

.

m1 + m2

Тогда кинетическая энергия второго тела после удара

T =

m2u22

=

2m2m12v12

.

2

2

(m1 + m2 )2

Определим часть энергии, которую передаст первое тело при ударе:

T2

=

4m1m2

.

T2

T1

(m1 + m2 )2

Выполним расчеты:

=

4 ×1кг × 4кг

= 0,64 .

T1

(1кг + 4кг)2

Ответ: Т2/Т1=0,64.

Пример 4.

Тело, массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением S=2t2+4t+1. Определить работу силы за 10 с от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Решение: Работа, совершаемая силой,

A = òFdS.

(1)

По второму закону Ньютона сила, действующая на тело, равна

F = ma

или

F = m

d2S

(2)

dt2

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

21

В соответствии с этим

v = dSdt = 4t + 4,

a = d2S = 4м / с2 . dt2

Тогда

(3)

(4)

F = m d2S =4m. dt2

Из выражения (3) находим

dS=(4t+4)dt.

Подставляя (5) и (6) в уравнение (1), получим:

(5)

(6)

A = ò4m(4t + 4)dt .

По этой формуле вычислим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия.

10

16t2

10

A = ò(16mt +16m)dt = m

+16t

1(8×100 +16 ×10)Дж = 960(Дж)

.

0

2

0

mv2

T=

.

(7)

Подставляя (3) в (7), имеем

2

T =

m(4t + 4)2

= m(8t2 +16t + 8).

2

Ответ: А=960 Дж;

T = m(8t2 + 16t + 8) .

Пример 5. Какую работу нужно совершить, чтобы пружину жесткостью k=600 Н/м, растянутую на х=4 см, дополнительно растянуть на х=10 см?

Решение: 1 способ. Работа, совершенная при растяжении пружины, равна изменению ее потенциальной энергии:

А=П2-П1=

k(x + Dx)2

-

kx

2

=

k(2x + Dx)Dx

.

2

2

2

Вычислим значение работы:

А= 6 ×102 (2 × 4 ×10−2 + 10 ×10−2 ) ×10 ×10−2 = 5,4(Дж). 2

Анализ размерности:

[A]= [k][x + Dx][Dx]= Нм (м + м) × м = Н × м = Дж .

2 способ.

При деформации пружины в ней возникает упругая сила, определяемая по закону Гука:

Fупр.=-kx,

где k - коэффициент жесткости; х - абсолютное удлинение пружины.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Смотрите также файлы