Файл: ivanter2000_vved_v_kolich_biol.pdf

185

для второго коэффициента (свободного члена уравнения) (2.13) оказался ниже табличного значения (2.57), т. е. коэффициент b значимо от нуля не отличается (на данном объеме собранных материалов). Это позволяет пересчитать коэффициент регрессии: a = Σ(x∙y)/Σx² = 0.071.

Отсюда уравнение регрессии (Y = a∙x) будет иметь вид:

Y = 0.071∙x.

Подставляя в него любые значения х, мы получим соответствующие теоретические (т. е. средние) значения Y и таким образом сможем построить на графике линию регрессии. Например, при массе тела коровы x = 376 кг масса теленка должна составить Y = 0.071∙376 = 26.7 кг, а при х = 555 Y = 39.4. Соединив на графике точки с этими координатами, получаем линию регрессии, весьма наглядно иллюстрирующую характер изучаемой связи (рис. 8.10).

В заключение оценим адекватность полученной модели исходным данным с помощью дисперсионного анализа. Для этого следовало бы вновь найти оценку остаточной суммы квадратов отклонений реальных значений от новых прогнозных, Σ(y–Y)², затем оценить регрессионную сумму квадратов, найти дисперсии и

187

окне Метки), ОК. Результаты будут выведены на новый автоматически созданный лист книги Excel. Помимо описательной статистики они содержат таблицу дисперсионного анализа, а также коэффициенты регрессии с их ошибками и оценкой статистической значимости по Стьюденту. Если при первом прогоне программы оказалось, что свободный член значимо от нуля не отличается, при втором прогоне макроса в окне Константа-ноль следует поставить галочку.

Выполнение регрессионного анализа с помощью пакета StatGraphics показано в следующем разделе.

188

Криволинейная регрессия

Рассмотренный выше метод линейной регрессии позволяет описывать и прогнозировать явления и процессы, при которых зависимость между изучаемыми признаками приближается к линейной, простой пропорции. Таковы, например, зависимость веса сердца разных видов млекопитающих от массы их тела или экстраполяция данных о численности популяции, полученных на пробных площадях, на всю занимаемую ею территорию и т. п. Однако в большинстве случаев связь биологических признаков не бывает линейной, и они изменяются с разной скоростью (и в разных масштабах). Соответственно на графике форма такой связи отображается не прямой, а кривой линией. Примерами могут служить геометрическая прогрессия роста численности популяции в оптимальных условиях, характерное для теплокровных животных изменение метаболизма – невысокий уровень в оптимуме и ускоренно возрастающий при смене условий, рост числа видов, попавших в описание, по мере увеличения площади обследованной территории, а также различие скоростей роста разных частей тела, определяющее аллометрический характер зависимости признаков. Так, увеличение массы тела опережает по темпам весовой рост сердца и других внутренних органов, лицевой отдел черепа растет более интенсивно, чем мозговой; с разной скоростью растут листья на одном и том же побеге.

В подобных случаях использование уравнения прямой линии (у = ах + b) неэффективно: теряются многие детали процесса, коэффициенты корреляции и регрессии получаются заниженными, а результаты анализа – приблизительными, недостаточно точными. Решить эту проблему можно с помощью уравнений кривых линий. В практике биологических исследований в число наиболее часто используемых входят следующие пять видов криволинейной зависимости (табл. 8.6).

Существуют два достаточно простых пути подгонки уравнений под конкретные данные (аппроксимации данных – кривой), два способа оценки коэффициентов в уравнениях кривых – это настройка параметров модели с помощью макроса "Поиск решения" (этот путь рассмотрен в разделе Имитационное моделирование) и расчет коэффициентов методом наименьших квадратов.

190

коэффициентов регрессии,

– обратное преобразование коэффициентов линейной регрессии для конструирования уравнения криволинейной регрессии.

Рассмотрим процесс поиска уравнения криволинейной регрессии на примере изучения зависимости веса печени прыткой ящерицы от длины ее тела (рис. 8.11).

Рассчитанное по исходным данным уравнение линейной регрессии имеет вид:

у = 107.9х– 404.2.

И хотя коэффициент регрессии достоверен (T = 7.6, α<0.05) и коэффициент детерминации высок R² = 0.866, это уравнение весьма приблизительно описывает зависимость признаков – для наименьших наблюдаемых значений длины тела оно дает абсурдное (отрицательное) значение массы печени (107.9∙3.4–404.2 = –37.3 мг). Итак, линейная модель не годится даже для интерполяции изучаемых данных. Гораздо успешнее справляется с подобной задачей степенная (аллометрическая) функция у = bxa.

Рис. 8.11. Зависимость веса печени (M, мг) от длины тела (L, мм) у ящериц

Для вычисления коэффициентов этого уравнения воспользуемся преобразованием: Y = lgy, X = lgx, B = lgb. После логарифмирования степенное уравнение приняло линейный вид: lgy = lgb + a∙lgx или Y =