Файл: ivanter2000_vved_v_kolich_biol.pdf

191

B + aX. Теперь остается отыскать коэффициенты уравнения B и a, используя алгоритм метода наименьших квадратов (табл. 8.7).

Таблица 8.7

Для преобразования исходные данные (Y = lgy, X = lgx) можно воспользоваться функцией =log10(ячейка) среды Excel.

Далее рассчитаем суммы, необходимые промежуточные значения и коэффициенты (приведены округленные значения с листа Excel): ΣY

= Σlgy = 20.6, ΣY² = Σ(lgy)² = 48.64, ΣX = Σlgx = 7.043, ΣX² = Σ(lgx)² = 5.659, ΣXY = Σ(lgx∙lgy) = 16.577,

MY = ΣY/n = 20.6/9 = 2.289, MX = ΣX/n = 7.043/9 = 0.7826, CXY = ΣXY–(ΣX)∙(ΣY)/n = 16.572–7.043∙20.602/9 = 0.45542,

CX = ΣX²–(ΣX)²/n = 5.655–(7.04)²/9 = 0.14816, CY = ΣY²–(ΣY)²/n = 48.638–(20.601)²/9 = 1.4823,

a = CXY/CX = 0.45541/0.14815 = 3.0739,

B = MY – aMX = 2.289 – 3.0739∙0.7826 = –0.11643.

Линейное уравнение для преобразованных данных имеет вид: lgy = 3.07∙lgx + lg(–0.116) или Y' = 3.07∙X – 0.116.

Оно дает возможность рассчитать теоретические значения признака Y' (теоретические значения логарифмов массы печени), а

192

также квадраты отклонений прогнозных значений от реальных: (Y'–Y)²

и их сумму Σ(Y'’–Y)² = 0.08239.

Эта величина есть остаточная сумма квадратов; вместе с общей суммой квадратов Cy = Cобщ. = 1.4823 она позволяет сформировать таблицу дисперсионного анализа (табл. 8.8):

Смод. = Собщ. – Состат. = 1.4823 – 0.08239 = 1.39993.

Таблица 8.8

следовательно, дисперсия, обусловленная регрессией, достоверно больше случайной, т. е. признак Y действительно зависит от признака X, и линия регрессии адекватна исходным данным. Коэффициент детерминации больше, чем у линейной регрессии, и составляет:

R² = Смод./Собщ. = 1.39993/1.482322 = 0.944417.

Ошибка коэффициента криволинейной регрессии равна:

составляет

T = a/ ma = 3.0739/0.281 = 10.9.

Полученное значение больше табличного (T(0.05,8) = 2.31 для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы df = n–2 = 8)

193

(α<<0.05), зависимость признака Y от X есть, причем очень тесная. Следует помнить, что при расчете ошибки коэффициента криволинейной регрессии используются стандартные отклонения для преобразованных (у нас – прологарифмированных) значений признаков.

В завершение выполним обратное преобразование второго

коэффициента регрессии, свободный член равен: b = 10B = 10–0.11643 = 0.764839.

Теперь уравнение регрессии принимает вид степенной

зависимости:

у' = 0.765∙x3.07.

Теоретические значения у', рассчитанные по этому уравнению, гораздо ближе к исходным данным, что хорошо видно и на графике (рис. 8.11), и по большей величине коэффициента детерминации (0.94>0.87) (читателю несложно будет проделать все вычисления в среде Excel с помощью программы Регрессия – как для исходных, так и для преобразованных данных).

Аллометрическое уравнение (у' = 0.77х3.1) не только лучше описывает зависимость между сравниваемыми признаками в статистическом плане, но и придает ей более ясный биологический смысл (масса печени = 0.77∙длина тела3.1). Как известно, объемные величины (объем, масса тела) пропорциональны кубу линейных промеров (длина тела). В свою очередь, вес печени и вес тела связаны прямой пропорциональной зависимостью. Так становится понятной наблюдаемая пропорциональность веса печени кубу длины тела.

Когда зависимость между изучаемыми признаками имеет иную форму, чем может описать степенное уравнение, пользуются другими способами преобразования данных (табл. 8.9).

Выбрать, какой из видов описания лучше подходит к эмпирическим данным, можно ориентируясь на величину коэффициента детерминации или корреляции. Чем ближе линия проходит к эмпирическим точкам, тем меньше остаточная сумма квадратов, тем больше коэффициент детерминации. Существуют и другие уравнения для описания криволинейных зависимостей (например, очень интересна парабола).

194

Самый эффектный способ расчета уравнений регрессии в среде Excel реализуется программой Добавить линию тренда. Для того чтобы построить линию и рассчитать уравнение регрессии между двумя столбцами данных (x и y), следует сначала построить точечную диаграмму (чтобы получить зависимость y = f(x) столбец x должен быть первым, y – вторым). На построенной диаграмме должны присутствовать точки только одного цвета, наличие точек двух цветов говорит о том, что диаграмма построена неверно.

Далее нужно один раз щелкнуть мышкой по какой-либо точке (x, y) диаграммы. При этом точки ряда окрасятся другим цветом, а в главном меню появится новый пункт Диаграмма (справа от Сервис).

195

Он позволяет построить линию регрессии с помощью команды

Диаграмма\ Добавить линию тренда….

В открывшемся окне (вкладка Тип) будет предложено на выбор пять моделей (линейная, логарифмическая, полиномиальная, степенная, экспоненциальная) и сглаживание по средним, с помощью которых можно дать обобщенное описание данных. На вкладке Параметры следует поставить галочку, как минимум, в одном поле –

Показывать уравнение на диаграмме, ОК. На диаграмме появится черная жирная линия регрессии. Изменить установки можно в окне настройки, которое появляется после двойного клика по линии.

Когда исходные данные содержат нулевые значения, их преобразование (логарифмирование) для "выпрямления" зависимости становится невозможным; в этом случае на вкладке Тип будут высвечиваться не все виды уравнений криволинейной регрессии. Ситуацию удается исправить, если нули исключить из рассмотрения или заменить правдоподобными малыми числами, следя за тем, чтобы основную роль в расчете уравнения играли реальные значения.

Регрессионный анализ в среде StatGraphics

Обширный список криволинейных функций предлагает пакет StatGraphics. Для выбора лучшего уравнения организуется таблица, сравнивающая результаты разных способов аппроксимации.

Сначала необходимо ввести данные на лист StatGraphics (один из простейших способов – простое копирование данных с листа Excel через буфер обмена). Для расчета разных видов парной регрессии нужно дать команду меню Relate\ Simple Regression…, выбрать переменные, выбрать все позиции Tabular options и Graphics options.

Исходно в появившихся окнах будет рассчитана линейная регрессия. В

окошке Comparison of Alternative Models будут отображены результаты 12 способов аппроксимаций, ранжированных по величине коэффициентов детерминации. Увидеть результаты расчетов для других видов уравнений можно, щелкнув правой кнопкой мыши и выбрав в окне Analysis Options нужный вид модели (Type of Model). Найти уравнение полиномиальной зависимости (параболы) можно, дав команду Relate\ Polynomial Regression…. Рассчитать линейную регрессию без свободного члена позволяет команда Relate\ Multiple Regression…, если в окне контекстного меню Analysis Options

убрать галочку из рубрики Constant in Model.