Файл: ivanter2000_vved_v_kolich_biol.pdf

232

морфологических признаков (длина крыла, хвоста, цевки) у них довольно сильно перекрываются, что не позволяет с уверенностью диагностировать пол этих птиц. Например, для длины крыла степень трансгрессии составляет 20%, а длины цевки – 90%. Между тем дискриминантный анализ в силах справиться с подобной задачей.

Рис. 9.4. Зона трансгрессии – наложение "хвостов" распределений

На основе реальных признаков птиц математически рассчитывается искусственный и единственный признак, учитывающий все незначительные морфологические отличия полов в целом по всем признакам. Эти расчеты проводятся с условием, чтобы различия между группами самцов и самок стали наиболее выраженными, а трансгрессия между их распределениями – наименьшей. Так удается свести к минимуму долю животных неопределенного пола и с высокой степенью достоверности предсказывать пол по морфологическим признакам.

В основе дискриминантного анализа лежит дискриминантная функция; для двух признаков она имеет такой вид:

Z a x b y H Z .

Как можно видеть, признаки х и у, объединяясь, дают один признак Z. Если в анализ будут включены размерные признаки, такие как длина крыла и длина хвоста, то новый признак можно назвать " относительные размеры тела".

Коэффициенты a и b оценивают "вклад" каждого из признаков в диагностические возможности функции. На первых этапах работы в расчеты обычно вовлекается большое число реальных признаков, многие из которых никак не влияют на диагностические возможности дискриминантной функции, для них дискриминантные коэффициенты близки к нулю. Такие признаки исключают из рассмотрения, а дискриминантую функцию рассчитывают заново. Формальным критерием для отбраковки "неинформативных" признаков служит

233

аналог критерия Стьюдента для оценки значимости коэффициентов регрессии, который мы не рассматриваем.

Коэффициент Н – это граничная величина между значениями Z для самцов и самок. Свободный член уравнения Z – поправка на разные объемы выборок.

Теперь сформулируем задачу более конкретно. У 10 самцов и 10 самок погибших по разным причинам пеночек-весничек (их пол был определен путем вскрытия) взяли промеры длины крыла и хвоста. По этим данным вычислены необходимые для дальнейших расчетов величины (суммы значений, их квадратов и произведений), сведенные

в таблицу 9.5: Σx = 1218; Σx² = 74324 5; Σy² = 9275; Σy² = 43087.25;Σ(х∙у) = 56564.5.

Таблица 9.5

Самцы (1)

235

nmin – объем меньшей выборки объектов разного качества.

В нашем случае поправка равна 0, так как группы имеют одинаковый объем (по 10). Теперь можно записать уравнение дискриминации в полном виде:

Z = 0.021423∙x + 0.015335∙у – 2.0158.

Рассчитаем с его помощью значения нового признака "относительные размеры тела" для конкретных особей. Для первого самца величина разницы составит:

Z11 = 0.021423∙65 + 0.015335∙50 – 2.0158 = 0.14.

Значения для всех остальных особей занесены в таблицу 9.5, из которой видно, что самцы имеют положительные, а самки (кроме одной) – отрицательные значения функции Z. Распределения нового признака перекрываются на одну двадцатую часть, всего на 5%. По исходным данным видно, что трансгрессия по признаку х составила 10% (значение 61), а по признаку у – 25% (значения 46 и 46.5). Таким образом, рассчитанный признак характеризуется меньшей трансгрессией по сравнению с реальными признаками, т. е. позволяет снизить число неверных определений пола у живых птиц. Дальнейшие операции, связанные с использованием дискриминантной функции, вполне очевидны. Для особи с неизвестным полом, но известными промерами частей тела (когда птица после отлова и взятия промеров отпускается живой) вычисляется значение функции. Если оно больше 0, значит, это самец, если меньше – самка.

Заключительный этап – оценка достоверности уравнения по критерию Фишера:

По лученное значение критерия Фишера (0.32) меньше

табличного (табл. 7П) для α = 0.05 и df1 = 2, df2 = 20–3 = 17 F(α, 2,n– 3) = 3.6, значит, уравнение недостоверно. Это объясняется небольшим

объемом выборки в нашем примере: для исходных данных из 50 экз. птиц каждого пола (обычный объем зоологического материала)

236

критерий Фишера был равен F = 4.2 при F(α, 2, 47) = 3.1. Отсюда следует, что уравнение дискриминации для 50 особей достоверно и вполне пригодно для прижизненного определения пола пеночек-весничек.

Уверенность в результатах анализа может придать оценка работоспособности дискриминантной функции на независимой проверочной выборке особей с известным статусом.

237

Основы метода главных компонент

Метод главных компонент реализует идеологию многомерной статистики – стремление дать максимально полную характеристику каждому объекту измерения с помощью минимального числа неких расчетных признаков. Компонентный анализ позволяет вместо многочисленных исходных характеристик объектов исследования рассчитать несколько новых признаков, линейных индексов (названных главными компонентами), т. е. максимально эффективно справляется с задачей сокращения размерности. С вычислительной точки зрения количество главных компонент может быть равно числу исходных (m), но обычно основная доля информации об отличиях объектов "концентрируется" в гораздо меньшем числе компонент, которые и рассматриваются как полноценная характеристика всех объектов.

Главные компоненты как факторы

Зачем же делать такую подмену одних признаков – другими? Дело в том, что новые показатели – это не совсем "признаки", характеристики объектов. С бóльшим основанием их можно назвать "явлениями"; это отображения неких процессов (или факторов), затрагивающих сразу группы признаков объектов измерения.

Взять, к примеру, индивидуальный рост животных, который сказывается и на размерах тела, и на массе особи, ее внутренних органов, степени развития генеративных органов, интенсивности обменных процессов и т. д. Опыт показывает, что в выборке разновозрастных животных одна из главных компонент формируется при участии всех этих признаков и поэтому может быть названа "возрастные изменения", т. е. как явление, а не признак. Что же могут представлять из себя другие главные компоненты, какие явления она могут описывать, какое общее направление изменчивости? Таким направлением может быть, например, половой диморфизм по многим признакам: самки отличаются от самцов и массой, и размерами, и пропорциями, и степенью гипертрофии органов при беременности и т. д. Это вторая причина изменчивости затрагивает те же признаки, что и онтогенез, но "в другом направлении". Наконец, если рост и развитие разных особей проходили в разных условиях (разные сезоны, районы

238

ареала, антропогенной пресс), они не могли не сказаться на морфологии, но своим, особенным образом – третья причина.

Эта логика приводит нас к двойственному заключению:

–каждый реальный признак характеризует только какую-то одну сторону явлений, которыми захвачены особи,

–каждое из этих явлений (факторов) сказывается на многих признаках.

Получается, что в значении каждой отдельной варианты воплощается реализация нескольких разнородных процессов; модель значения варианты любого исходного признака имеет вид:

x x a x b x с ... ,

где x – исходное значение какого-либо признака x,

xa – выражение процесса a в формировании варианты x,

xb – роль процесса b в формировании значения варианты x. Понятно, что разные факторы будут оказывать на варианты

разное влияние, одни более сильное, другие более слабое. Например, из рассмотренных выше возможных отличий вариант, воплощенных в конечном признаке каждой особи (пусть это будет масса тела), наибольшую роль сыграет возраст, а также половой диморфизм, затем условия развития, индивидуальные отличия и пр., т. е. a > b > c >…

Если попытаться выразить массу какого-либо мелкого животного (например, обыкновенной гадюки) предложенным способом, получим:

где Wi – значение массы отдельной i-й особи,

Wвид – вклад в значение массы видовой нормы (средней)(примерно 50 г),

Wпол – вклад в значение массы половых отличий (±50 г),

Wвозраст – вклад в значение массы этапа онтогенеза (±80 г), Wплод – вклад в значение массы наличие эмбрионов (±60 г),

Wсезон – вклад в значение массы сезона (упитанности, развития)(отличия до 50 г).

Так, для молодого половозрелого самца гадюки летом имеем примерно

W = 50 + 40 – 20 + 0 + 0 = 70 г,