Файл: ivanter2000_vved_v_kolich_biol.pdf

239

для старой беременной самки летом

W = 50 + 100 + 100 + 30 – 20 = 260 г,

для трехлетней ювенальной особи весной

W = 50 + 0 – 30 + 0 + 0 = 20 г.

Пример показывает, благодаря действию каких причин отличаются размеры животных, какие направления изменчивости реализованы в этих вариантах; в порядке возрастания значимости это:

–отличия по возрасту,

–отличия по полу,

–отличия по участию в размножении,

–отличия по сезону (упитанности).

Важно указать, что "видовая норма", определенная комплексом процессов, определяющих типичные для вида размерные характеристики (условная средняя), дает одинаковый вклад во все значения вариант; вклады остальных причин для каждой особи различны.

Аналогичным образом можно расписать влияние названных причин на любой другой признак, например, на линейные размеры тех же гадюк:

Итак, одни и те же процессы (факторы) сказываются на разных количественных характеристиках изучаемых объектов, при этом на разные варианты один и тот же фактор воздействует с разной силой. Сила действия данного фактора может быть, видимо, определена по величине соответствующей "добавки" к значению варианты.

Такой "декомпозирующий" взгляд на числа в матрице исходных данных позволяет предложить принцип поиска и количественной характеристики общих причин, ответственных за отличия объектов выборки. Используя информацию, заключенную в исходной матрице данных, в рамках компонентного анализа предлагается количественно выразить факторы, ответственные за отличия объектов. Данный l-й фактор можно представить как сумму всех эффектов (xlj) его воздействия во все изучаемые признаки (x1,…xj,…xm), т. е. как сумму всех "добавок" данного фактора во все значения отдельных признаков отдельной особи:

240

значения всех признаков, где ГКа – значение главной компоненты, характеризующей

действие одного из процессов формирования вариант (фактор a),

xaj – вклад фактора a в значение варианты j-го признака данного объекта.

Для другого процесса (фактор b) имеем:

и т. д. для всех прочих факторов.

Например, как показывает практика, первой главной компонентой в выборке животных обычно оказывается фактор возрастных отличий, что позволяет записать примерное выражение:

Иными словами, главная компонента, характеризующая действие возраста, представляет собой сумму соответствующих долей вариант по всем признакам.

Конечно, странно и неправильно было бы складывать граммы с миллиметрами и миллиграммами, поэтому в уравнении присутствует префикс норм., говорящий о том, что в расчетах принимают участие значения, предварительно преобразованные к виду, позволяющему проводить такие операции. Эти значения центрированы (к средней) и нормированы (на стандартное отклонение):

норм. xji = z ji ( x ji M j ) / S j ,

где норм. xji, или zji – нормированное i-е значение j-го признака,

Mj, Sj – средняя и стандартное отклонение j-го признака по всей выборке,

i – индекс объекта, особи,

241

j – индекс признака.

После нормирования признаки утрачивают единицы измерения, и складывать их значения вполне допустимо.

Требование максимума дисперсии

Представленным выше способом формируется столько главных компонент, сколько существенных причин участвовало в формировании вариант. Теперь можно детальнее показать, почему количество расчетных признаков (главных компонент) должно быть меньше, чем число исходных переменных. На выборке объектов можно часто наблюдать, как от объекта к объекту разные признаки изменяются чуть ли не синхронно, т. е. сходным образом реагируют на одни и те же факторы. Факт корреляции между признаками означает, что они содержат много общей информации о действующих факторах. При этом каждый отдельный фактор влияет на несколько признаков. Главные компоненты как раз и выражают эти немногие причины изменчивости, которых всегда меньше, чем исходных признаков.

Получается, что 100% информации об изменчивости вариант, заключенной в исходной матрице данных, перераспределяется между компонентами по-иному, чем между признаками. Например, когда изучается 10 признаков, можно условно принять, что каждый из них привносит по 10% информации. Пусть при этом половина значения каждой варианты каждого признака будут изменяться у разных особей под действием одной причины (например, возраста), тогда на долю главной компоненты, которая уловит эти возрастные отличия, придется 50% общей информации; она будет в пять раз более информативна, чем любой исходный признак. Аналогично можно представить, что на половые отличия придется 30% информации (изменчивости значений вариант), на отличия по срокам наблюдения – 10%, а на все прочие более слабые причины – оставшиеся 10%. В итоге можно увидеть, что вместо 10 признаков львиную долю общей изменчивости вариант отобразили, "объяснили" всего 3 главных компоненты. Эти 10–20% относятся, как правило, к стохастическому шуму (слабые несущественные факторы, ошибки измерения), их обычно не рассматривают.

242

В рамках компонентного анализа "сила" каждой компоненты (характеристики некоего фактора) оценивается как доля дисперсии данной компоненты в общей дисперсии признаков (этот принцип, по существу, заимствован из дисперсионного анализа). Как уже говорилось, количество информации в многомерной статистике выражается степенью отличия объектов друг от друга, т. е. общей дисперсией их значений (S²ГКj). Эта общая по всем признакам дисперсия перераспределяется между разными компонентами. (В публикациях можно найти выражения вроде "доля дисперсии первой главной компоненты составляет 34%"; буквально это означает, что относительная сила влияния некоего фактора, выраженного этой компонентой, составляет 34%.) Процедура расчета главных компонент организована таким образом, что первыми описываются самые сильные влияния, действие самого сильного фактора, т. е. чтобы дисперсия первой компоненты имела наибольшее значение. Затем вычисляются оценки действия второго по значимости фактора, с меньшей дисперсией, и так далее в порядке уменьшения величины дисперсии главных компонент:

Факторные нагрузки

Подходя к рассмотрению техники расчетов главных компонент, выразим их модель с использованием не абсолютных значений вкладов разных признаков, но относительных. Если значение отдельной варианты есть сумма вкладов разных факторов x j x aj x bj x сj , то

величина вклада в значение варианты отдельного фактора составит некую долю от общего значения варианты:

243

второй:

ГК b b 1 x 1 b 2 x 2 ... b i x j ... b m x m и так далее.

Общая модель компонентного анализа примет вид:

где l – номер компоненты, l = 1, 2,… k (значимых компонент всегда меньше, чем признаков, k ≤ m).

Как же практически можно определить, какую долю каких факторов содержит в себе каждое значение исходных признаков, т. е. чему равны конкретные значения коэффициентов aj (факторных нагрузок) и как их вычислить? Для упрощения объяснения на первых порах придется несколько пожертвовать строгостью понятий.

Сначала зададимся более простым вопросом – как определить долю участия некоего внешнего фактора в каких-либо двух изучаемых признаках (например, масса и размеры особи)? Если некий фактор будет действовать на оба признака одновременно, это значит, что изменения значений вариант от объекта к объекту будут происходить более или менее синхронно, сопряженно. Поскольку известно, что сопряженное варьирование двух признаков лучше всего оценивать с помощью корреляционного анализа, значит, коэффициент корреляции и покажет, чтó в варьировании двух признаков есть общего и какова степень этой общности. Корреляция на уровне r = 1 свидетельствует о том, что оба изучаемых признака абсолютно детерминированы друг другом или единственной внешней причиной. Говоря упрощенно, коэффициент корреляции r = 0.5 свидетельствует, что примерно половинная доля значений каждой из вариант обоих признаков определяется действием некоего общего фактора, а другие "половинки значений" сформированы под влиянием иных обстоятельств. Такой уровень корреляции как раз характерен для связи вес – размеры особи. Любой коэффициент корреляции будет отражать то общее, что есть между каждой парой изучаемых признаков, что заставляет их сопряженно изменяться от варианты к варианте.

Коэффициенты в уравнениях главных компонент – это по существу и есть коэффициенты корреляции между признаками, они названы факторными нагрузками (отличия между коэффициентами корреляции и факторными нагрузками показаны ниже). Это удачное название показывает, во-первых, какой эффект данный l-й фактор оказал на данный j-й исходный признак, а также, во-вторых, какой