Файл: ivanter2000_vved_v_kolich_biol.pdf

41

(совпадает со значением медианы), т. е. левая и правая границы распределения (с любой принятой вероятностью) находятся на одинаковом расстоянии от средней. В выборке объемом n>30 крайние значения удалены от средней на расстояние 2S (с вероятностью P = 95%): xmin = M–2S, xmax = M+2S, и среднюю арифметическую можно рассчитать по формуле медианы:

Для бурозубок эта средняя составит M = (7.3+11.9)/2 = 9.6 г, что вполне соответствует действительности.

В случаях, когда необходимо объединить результаты расчетов по нескольким выборкам и на этой основе найти общую среднюю, характеризующую весь изученный материал, пользуются взвешенной средней, которая учитывает объемы частных выборок:

где Mj – значение частной средней,

nj – условные "веса" частного значения, объемы выборок. Чтобы рассчитать среднюю взвешенную, необходимо значение

средней арифметической помножить на его "вес", все эти произведения сложить и сумму разделить на сумму весов. Пусть получены результаты определения средней величины выводка у рыжих полевок (экз./ самку) по месяцам: май 5.0, июнь 5.4, июль 6.2, август 6.0, сентябрь 4.5, причем известно число определений (самок) для каждого месяца: 22, 43, 103, 33 и 5. Средняя взвешенная составит:

M = (5∙22+5.4∙43+6.2∙103+6∙33+4.5∙5)/ (22+43+ 103+33+5) = 5.8.

Вычисление общей средней арифметической обычным способом дает в этом случае заниженную характеристику:

М = (5+5.4+6.2+6+4.5)/5 = 5.4.

Помимо средней арифметической важную область применения находит и средняя квадратичная. Ее употребляют при вычислении средних площадей, диаметров, радиусов, например, при расчете среднего размера клеток микроскопических водорослей, диаметра эритроцитов, величины листовой пластинки у растений, размеров колоний микробов и т. д. Средняя квадратичная равняется корню квадратному из суммы квадратов вариант, отнесенной к их общему

42

числу, и рассчитывается по формуле:

x 2

M n

Применение этой величины оправдано тем, что указанные признаки имеют несимметричное нормальное распределение, но обладают резко выраженной асимметрией. Возведение в квадрат сильнее сказывается на больших значениях, по сравнению с меньшими, частоты больших значений повышаются, распределение становится более симметричным, близким к нормальному, а средняя арифметическая для квадратов делит распределение пополам. Поэтому средние квадратичные обладают свойствами полноценных средних, тогда как простые средние арифметические, рассчитанные по таким данным, дают смещенные оценки.

Если, например, отдельные измерения диаметра эритроцитов дали следующие результаты: 7, 8, 10, 8, 11 и 6 мкм, то средний диаметр, найденный как среднее квадратичное, будет:

тогда как простая средняя арифметическая дает величину 8.3.

В число прочих констант вариационного ряда входит медиана (Me), значение, делящее размах выборки пополам, и мода (Mo), класс (или значение), представленный наибольшим числом вариант.

Стандартное отклонение (и другие показатели изменчивости)

Среднее квадратичное отклонение (или стандартное отклонение, S) – вторая по значению константа вариационного ряда. Она является мерой разнообразия входящих в группу объектов и показывает, на сколько в среднем отклоняются варианты от средней арифметической изучаемой совокупности.

Продолжим рассмотрение физической аналогии, предложенной для средней. Разрежем вырезанное из картонки нормальное распределение по вертикальной линии строго пополам, начиная с точки средней арифметической. Стандартное отклонение для признака с нормальным распределением – это та точка половинки вырезанной из картонки фигуры распределения, опираясь на которую левая и правая

43

несимметричные части уравновешивают друг друга.

Стандартное отклонение есть мера изменчивости признаков, обусловленная влиянием на них случайных факторов. Что такое "случайное" при детальном рассмотрении? В формуле модели вариант случайный компонент предстает в виде некой "добавки" к доле варианты, сформированной под действием систематических факторов,

± xслуч.. Она, в свою очередь, складывается из эффектов влияния неопределенно большого числа факторов: xслуч. = Σ xслуч.j.

Каждый из этих факторов может обнаружить свое сильное действие (дать большой вклад), а может почти не участвовать в становлении варианты (слабое действие, незначительный вклад). По этой причине доля случайной "прибавки" для каждой варианты оказывается различной! Рассматривая с большим пристрастием какиелибо характеристики животных, например размеры дафний, можно увидеть, что одна особь крупнее, другая мельче, поскольку одна родилась на несколько часов раньше, другая позже, или одна генетически не вполне идентична прочим, а третья росла в более прогреваемой зоне аквариума и т. д. Если эти частные факторы не входят в число контролируемых при сборе вариант, то они,

индивидуально проявляясь в разной степени, обеспечивают случайное варьирование вариант. Чем больше случайных факторов, чем они сильнее, тем дальше будут разбросаны варианты вокруг средней, и тем большим оказывается характеристика варьирования, среднее квадратичное отклонение. Подчеркнем еще раз, что в контексте нашей книге термин "случайное" есть синоним слова "неизвестное", "неподконтрольное". Пока мы каким-либо способом не выразим интенсивность фактора (группировкой, градацией, числом), до тех пор он останется фактором, вызывающим случайную изменчивость.

Рассмотрим путь получения числовой характеристики

44

изменчивости. Исходя из общей модели варианты xi = M ± xri, доля случайной изменчивости составит xri = xi – M.

Простое обобщение (суммирование) эффектов действия случайных факторов для всей выборки невозможно (Σ(±xri) = 0), поэтому разность возводят в квадрат и затем извлекают из нее корень:

Отнеся полученное значение к объему выборки, получаем среднюю долю значения варианты, сформированной под действием всех случайных факторов:

Эта формула могла бы служить для вычисления характеристики случайного варьирования, однако, как показано в математической статистике, она дает смещенные оценки, и более правильно применять другую формулу, использующую вместо объема выборки n число степеней свободы n–1.

Итак, величина стандартного отклонения выражается следующей смысловой формулой:

где x – значение признака у каждого объекта в группе; М – средняя арифметическая признака; п – число вариант выборки.

Общая же рабочая формула расчета точного значения стандартного отклонения (заложенная и в алгоритм приведенной программы для ЭВМ) имеет следующий вид:

2

x 2 ( x )

( n 1 )

где Σx² – сумма квадратов значений признака для всех вариант, Σx – сумма значений признака,

n – объем выборки.

В среде Excel стандартное отклонение вычисляется с помощью

45

функции =СТАНДОТКЛОН(диапазон). Для примера с массой тела бурозубок стандартное отклонение будет равно:

С4 =СТАНДОТКЛОН(A2:A64), т. е. S = 0.897216496;

после необходимого округления S = 0.897 г.

В некоторых случаях бывает необходимо определить

взвешенное среднее квадратичное отклонение для суммарного распределения, составленного из нескольких выборок, для которых значения стандартных отклонений уже известны. Эта задача решается с помощью формулы:

где SΣ – усредненная величина среднего квадратичного отклонения для суммарного распределения;

S – усредняемые значения стандартного отклонения; п – объемы отдельных выборок;

k – число усредняемых стандартных отклонений.

Рассмотрим такой пример. Четыре независимых определения веса печени (мг) у землероек-бурозубок в июне, июле, августе и сентябре дали следующие величины стандартных отклонений: 93, 83, 50, 71 (при n = 17, 115, 132, 140). Подставив в вышеприведенную формулу нужные значения, получим стандартные отклонения для суммарной выборки (для всего бесснежного периода):

В случае, если требуется первичная статистическая обработка большого числа выборок, но необязательно с большой точностью, для оценки стандартного отклонения можно воспользоваться экспрессметодом, основанным на знании закона нормального распределения. Как уже отмечалось, крайние значения для выборки (с вероятностью P = 95%) можно считать границами, удаленными от средней на

расстояние 2S: xmin = M–2S, xmax = M+2S. Это значит, что в лимите (Lim), в диапазоне от максимального до минимального выборочного

значения, укладываются четыре стандартных отклонения: Lim = (M+2S) – (M–2S) = 4S. Однако этот вывод справедлив только по