ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.08.2025
Просмотров: 1436
Скачиваний: 0
46
отношению к выборкам большого размера, тогда как для небольших выборок необходимо делать поправки. Рекомендуется следующая формула приблизительного расчета стандартного отклонения (Ашмарин и др., 1975):
S |
x max |
x min |
, |
|||||||||||||
d |
||||||||||||||||
где |
величина |
d взята |
из таблицы 2.3 |
(против |
соответствующего |
|||||||||||
объема выборки, n). |
||||||||||||||||
Таблица 2.3 |
||||||||||||||||
п |
d |
п |
d |
п |
d |
n |
d |
|||||||||
2 |
1.128 |
7 |
2.704 |
12 |
3.258 |
17 |
3.588 |
|||||||||
3 |
1.693 |
8 |
2.847 |
13 |
3.336 |
18 |
3.640 |
|||||||||
4 |
2.059 |
9 |
2.970 |
14 |
3.407 |
19 |
3.689 |
|||||||||
5 |
2.326 |
10 |
3.079 |
15 |
3.472 |
20 |
3.735 |
|||||||||
6 |
2.534 |
11 |
3.173 |
16 |
3.532 |
более |
4 |
|||||||||
Выборочное стандартное отклонение веса тела бурозубок (n = 63), рассчитанное по приведенной формуле, составляет:
S = (11.9–7.3)/4 = 1.15 г,
что достаточно близко к точному значению, S = 0.89 г.
Использование экспресс-оценок стандартного отклонения значительно сокращает время расчетов, существенно не сказываясь на их точности. Отмечается лишь небольшая тенденция к завышению получаемых этим методом значений стандартного отклонения при небольших объемах выборок.
Стандартное отклонение – величина именованная, поэтому с ее помощью можно сравнивать характер варьирования лишь одних и тех же признаков. Чтобы сопоставить изменчивость разнородных признаков, выраженных в различных единицах измерения, а также нивелировать влияние масштаба измерений, используют так называемый коэффициент вариации (СV), безразмерную величину, отношение выборочной оценки S к собственной средней M:
S |
||
CV |
100 % . |
|
M |
||
В нашем примере с весом тела бурозубок
47
CV |
S |
100 % |
0 . 89 |
100 % |
9.6 %. |
|
M |
9 . 3 |
|||||
Индивидуальная изменчивость (варьирование) признаков – одна из наиболее емких характеристик биологической популяции, любого биологического процесса или явления. В связи с этим особенно важно правильно оценивать степень варьирования показателей, что представляется отнюдь не простой задачей, особенно в свете дискуссий о способах измерения и изучения изменчивости. Не затрагивая чисто методических аспектов проблемы и оставляя последнее слово за специалистами-математиками, следует, тем не менее, согласиться с мнением о том, что коэффициент вариации может считаться вполне адекватным и объективным критерием, хорошо отражающим фактическое разнообразие совокупности независимо от абсолютной величины признака. Индекс был создан для унификации показателей изменчивости разных или разноразмерных признаков путем приведения их к одному масштабу. Отнесением квадратичных отклонений к соответствующим средним мы переводим их в соизмеримые показатели и тем самым освобождаем от влияния величины самого признака. Практика показывает, что для многих биологических признаков наблюдается увеличение изменчивости (стандартного отклонения) с ростом их величины (средней арифметической). При этом коэффициент вариации остается примерно на одном и том же уровне 8–15%. За увеличение коэффициента вариации ответственны, как правило, растущие отличия распределения признака от нормального закона.
48
3
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
Свойства нормального распределения
Биометрия изучает поведение биологических случайных величин. Начиная биологический эксперимент или приступая к наблюдению, невозможно точно сказать, каков будет результат – уровень численности животных в данном районе, вес еще не отловленных особей, количество сахара в крови через час после введения препарата и т. п. В этом смысле биологические явления случайны, точно не предсказуемы. Однако любому биологу ясно, что случайность эта не абсолютна. Несмотря на сложность точного прогноза, приблизительный результат можно предугадать, в частности, предсказав, что интересующая нас величина будет находиться в пределах некоторого интервала между конкретными минимальными и максимальными значениями. Ясно, например, что рост очередного встречного взрослого человека вряд ли превысит два метра или будет меньше полутора метров. Такого рода прогноз можно дать, ориентируясь на повторяемость однотипных наблюдений, на распределение случайных величин. Распределение – это соотношение между значениями случайной величины и частотой их встречаемости.
Если значения признака откладывать по оси абсцисс, а частоты их встречаемости по оси ординат, то можно построить гистограмму, удобную частотную диаграмму. Изучая такие признаки, как размеры и массу тела, мы наблюдаем повторяемость одних значений и редкость встреч других. Как мы видели, это было характерно для веса тела землероек. При этом числовые значения вариант располагаются в некоторой ограниченной зоне, в центре которой их особенно много, а по краям мало. Такое распределение называют нормальным. Его форма помогает строить прогнозы.
Так, в случае продолжения отлова зверьков выше будет вероятность отловить таких новых особей, масса тела которых окажется ближе к центральному значению, чем к крайним. Знание математического закона распределения анализируемого признака позволяет предсказывать значения вариант много точнее – с некоторой
49
вероятностью. Закон нормального распределения случайной величины задан уравнением:
1 |
t 2 |
||||
p |
e |
2 , |
|||
2 |
|||||
где |
t |
( x M ) 2 |
, нормированное отклонение для конкретного |
|
S |
||||
признака; M, S – параметры нормального распределения..
Уравнение определяет ход кривой линии, имеющей характерную колоколообразную форму, т. е. позволяет вычислить
ординаты нормальной кривой, или "плотность вероятности" (p).
Вероятность – численная мера возможного, определяется как отношение числа вариант (исходов испытаний) определенного вида к общему числу вариант (опытов). Поскольку нормальное распределение характерно для непрерывных случайных величин, говорят не о вероятности какого-то определенного значения варианты, но о "плотности вероятности", отражая тем самым плавность изменения вероятности значений для разных значений t, чем ближе к центру распределения, тем плотность вероятности выше. С помощью уравнения плотности вероятности можно рассчитать (интегрируя) вероятность появления нового значения случайной величины в том или ином интервале значений t. Итак, формула количественно выражает вполне определенные свойства поведения случайной величины, из которых можно назвать следующие практически важные следствия:
1. Все варианты лежат в интервале плюс-минус бесконечность. Иными словами, с вероятностью P = 1 (P = 100%) мы вправе ожидать появление новой варианты в пределах от –∞ до +∞. Слева и справа от средней арифметической лежит по 50% вариант, т. е. с вероятностью P = 0.5 (50%) можно предсказать появление новой варианты в интервалах M–∞ и M+∞.
50
p
0 . 5 |
|||||||
0 . 4 |
|||||||
0 . 3 |
|||||||
0 . 2 |
|||||||
0 . 1 |
5 0 % |
5 0 % |
|||||
0 |
|||||||
- 6 |
- 4 |
- 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
t |
2. В интервале от M–1S до М+1S лежат 68.3% всех вариант; с вероятностью P = 0.683 (P = 68.3%) можно прогнозировать появление новой варианты на расстоянии ±1S от средней, или в диапазоне M±S.
p
0 . 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
688.3%. 7
0 . 1
0
- 6 |
- 4 |
- 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
t |
3. Между M–1.96S до М+1.96S лежит 95% вариант. Это позволяет с 95%-ной вероятностью предполагать, что новая варианта окажется в интервале М±1.96S (округленно М±2S – так называемое правило двух стандартных отклонений).
51
p
0 . 5
0 . 4
0 . 3
0 . 2
9 5 %
0 . 1
0
- 6 |
- 4 |
- 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
t |
4. С вероятностью P = 0.99 значение новой варианты будет заключено в пределах М±2.58S и с вероятностью P = 0.999 – в интервале М±3.3S.
Исходя из сказанного, можно оценить вероятность появления новых значений признака. В отношении непрерывных случайных величин (метрических признаков) эта процедура сводится к так называемой интервальной оценке. Для полученных ранее характеристик, массы бурозубок, средней M = 9.26 и стандартного отклонения S = 0.79 (г), находим доверительные интервалы:
M±1S = 9.26±0.78, M±1.96S = 9.26±1.53. Новое значение признака с вероятностью P = 0.68 ожидается в пределах 8.47–10.6 г., а с вероятностью P = 0.95 –между 7.68 и 10.82 г. Предсказание веса землероек, конечно, не имеет большого практического значения и приводится нами исключительно для иллюстрации. Гораздо важнее может быть прогноз численности ценных промысловых видов, сельскохозяйственных вредителей, вспышек болезней, урожая культурных растений и т. п. Эти прогнозы также основаны на оценке доверительной вероятности ожидаемого события.
Важнейшее значение для практического применения имеет "соглашение о 95%". В соответствии с ним совокупности, состоящей из 95% особей (объектов), мы доверяем так же, как и 100%-ной. Термин "доверительная вероятность P = 0.95" означает, что, согласно принятому допущению, 95% вариант достаточно полно характеризуют изучаемое явление (в данном случае изменчивость веса землероек), что