Файл: Булевы функции.doc

Булевы функции

Представление булевой функции формулой логики высказываний

Определение. Булевой функцией f(x₁, x₂, …, x_n) называется n-местная функция, аргументы которой принимают значения во множестве {0, 1} и сама функция принимает значения в этом же множестве.

Всякую булеву функцию от n переменных можно задать таблицей из 2ⁿ строк, в которой в каждой строке записывают одну из оценок списка переменных, принимающих значение 0 или 1.

Пример.

Для n=3 булеву функцию можно задать таблицей .

Таблица

Используется также задание булевой функции в виде двоичного слова, длина которого зависит от числа переменных.

Пример.

Пусть задана булева функция от трех переменных (табл.). Тогда число наборов .

Таблица

Номера наборов всегда нумеруются, начиная с нуля, в таблице приведено стандартное расположение всех наборов функции трех переменных (обратите внимание, что каждый набор представляет собой двоичный код числа, равный номеру соответствующего набора). Первые четыре столбца одинаковы для всех булевых функций от трех переменных. Столбец значений функции задается или вычисляется.

Эту же функцию можно записать f(х₁, х₂, х₃)=00101101.

Существует ровно различных булевых функций от n переменных. Константы 0 и 1 считают нуль-местными булевыми функциями.

Утверждение. Каждой формуле логики высказываний соответствует некоторая булева функция.

Пример.

Построить все булевы функции, зависящие от двух переменных.

Решение.

Поскольку n=2, различных булевых функций от двух переменных существует ровно 16 (табл.).

Таблица

Теорема. Пусть f(x₁, x₂, …, x_k) k-местная булева функция. Если f не равна тождественно нулю, то существует такая формула F, зависящая от списка переменных x₁, x₂, …, x_n и находящаяся в СДНФ относительно этого списка, что F выражает собой функцию f. Формула F определена однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Теорема 2. Пусть f(x₁, x₂, …, x_k) k-местная булева функция. Если f не равна тождественно единице, то существует такая формула F, зависящая от списка переменных x₁, x₂, …, x_k и находящаяся в СКНФ относительно этого списка, что F выражает собой функцию f. Формула F определена однозначно с точностью до перестановки конъюнктивных членов.

Поскольку каждая булева функция представима в виде формулы логики высказываний, то принцип построения СДНФ и СКНФ сохраняется такой же как и для формул логики высказываний.

Пример.

Построить СКНФ и СДНФ булевой функции f(x₁, x₂, x₃)= 00101110.

Решение.

Строим таблицу значений функции (табл.):

Таблица

СКНФ (0): № 0, 1, 3, 7

СДНФ (1): № 2, 4, 5, 6

Минимизация нормальных форм

Выше было сказано, что произвольная булева функция может быть представлена формулой в дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной форме. Равносильными преобразованиями можно получить формулу, содержащую меньшее, чем исходная, число переменных.

Определение. Минимальной ДНФ (МДНФ) функции f(x₁, x₂, …, x_n) называется ДНФ, реализующая функцию f и содержащая минимальное число символов переменных по сравнению со всеми другими ДНФ, реализующими функцию f.

Минимальную ДНФ данной формулы можно найти, перебрав конечное число равносильных ей ДНФ и выбрав среди них ту, которая содержит минимальное число переменных. Однако при большом числе переменных такой перебор практически невыполним. Существуют эффективные способы нахождения минимальной ДНФ. Рассмотрим два из них.

Каждый из рассмотренных ниже методов состоит из двух этапов:

• построение сокращенной ДНФ;

• построение матрицы покрытий. Построение МДНФ.

Определение. Если для всякого набора а = (а₁, а₂, …, a_n) значений переменных условие g(a) = 1 влечет f(a) = 1, то функция g называется частью функции f (или функция f накрывает функцию g). Если при этом для некоторого набора с = (с₁, с₂, …, с_n)функция g(c)=1, то говорят, что функция g накрывает единицу функции f на наборе с (или что g накрывает конституенту единицы функции f).

Конституента единицы функции f есть часть функции f, накрывающая единственную единицу функции f.

Определение. Элементарная конъюнкция К называется импликантом функции f, если для всякого набора а = (а₁, а₂, …, a_n) из 0 и 1 условие К(а)=1 влечет f(a)=1.

Определение. Импликант К функции f называется простым, если выражение, получающееся из него выбрасыванием любых множителей, уже не импликант функции f.