Файл: Epyury.pdf

данной системы методом сил значительно выше, чем при использовании метода перемещений.

Рис. 59

Пример 25. Для рамы с наклонными стойками (рис.60,а) построить эпюры

M, Q, N при условии, что жесткость ригеля (2-3) в два раза больше чем жесткость наклонных стоек 1-2 и 3-4.

Определяем степень кинематической неопределимости рамы:

n ny nл 1 1 2.

Основную систему образуем путем введения защемления в узле 2 и

горизонтального опорного стержня в узле 3 (рис.60,б).

Для определения неизвестных перемещений z1 и z2 по направлениям введенных связей запишем систему канонических уравнений метода перемещений:

143

Используя вспомогательную таблицу метода перемещений, построим эпюры изгибающих моментов от единичного угла поворота Z 1 1 и от внешней нагрузки (рис.60,в,г).

Отметим, что узловая нагрузка F1 не вызывает изгибающих моментов в основной системе. Для построения эпюры моментов от единичного горизонтального перемещения Z 2 1 второй связи необходимо знать, как перемещаются в этом случае концы стержней рамы. Перемещение узла 3

происходит по направлению, перпендикулярному линии 3-4 (искомое перемещение Z 2 является горизонтальной проекцией полного смещения узла 3,

а узла 2 – по направлению, перпендикулярному линии 1-2. В результате этого происходит относительное перемещение узлов 2 и 3 по вертикали.

Рис. 60

144

Для определения указанных перемещений построим для шарнирной схемы, образованной из заданной рамы (рис.61,а),полярный план перемещений

(рис.61,б). Из этого плана определим взаимное перемещение концов стержней:

Так как введенное защемление препятствует повороту узла 2, то от найденных взаимных смещений произойдет изгиб стержней (рис.61,в). Эпюра моментов М 2 может быть теперь построена с помощью вспомогательной таблицы метода перемещений (рис.61,г).

Рис. 61

145

Коэффициенты r11, r12 и свободный член R1F определим из условия равновесия узла 2:

r11 0,667EI 1,5EI 2,167EI; r12 0,433EI 0,192EI 0,241EI;

R1F 60 кН м

Для определения коэффициента r22 , представляющего собой реакцию во введенном стержне от единичного смещения Z 2 1 , рассмотрим условия равновесия ригеля, отсеченного от стоек. Для этого необходимо определить поперечные и продольные силы, соответствующие эпюре М 2 , вырезав из рамы сначала узел 2, а затем узел 3. Так, условия равновесия узла 2 (рис.62,а) дают:

Y 0 : 0,108 0,064 sin 30 EI N 21 cos 30 0,

откуда N 21 0,162 EI .

X 0 : 0,162 sin 30 0,064 cos 30 EI N 23 0,

откуда N 23 0,136 EI .

Условия равновесия узла 3 (рис.62,б) позволяют получить:

Y 0 : 0,108 0,016 sin 30 EI N34 cos 30 0,

N34 0,134 EI .

X 0 : 0,136 0,016cos30 0,134sin 30 EI r22 0, r22 0,217EI.

Аналогично можно определить и свободный член R2 F по эпюре M F ,

вырезая узлы 2 и 3 (рис.62,в,г):

R2F 37,32 кН

146

откуда:

Окончательную эпюру моментов (рис.63,б) строим по формуле:

M M 1 Z1 M 2 Z 2 M F .

Соответствующие ей эпюры поперечных и продольных сил показаны на рис.63,в,г.

Рис. 63

148

Читателю предлагается самостоятельно убедиться в том, что для окончательных эпюр выполняются статические проверки: в узле 2 изгибающие моменты уравновешены; а силы, действующие на верхнюю отсеченную часть рамы, удовлетворяют условиям равновесия Х 0 и Y 0.

Пример 26. Используя упрощения, связанные с симметрией заданной рамы (рис.64,а), построить эпюру изгибающих моментов, при условии, что жесткости всех стержней одинаковы и равны EI.

Степень кинематической неопределимости рамы:

n n y n л 2 1 3

При выборе основной системы метода перемещений (рис.64,б) используем условия симметрии. Сгруппируем неизвестные углы поворота, т.е. угол

поворота узла 2 представим в виде суммы двух углов поворота Z1 и Z 2 , а

поворот узла 2 , симметричного узлу 2, - в виде разности углов Z1 и Z 2 .

Горизонтальное перемещение ригеля Z 3 является обратносимметричным

Как видно, форма канонических уравнений при группировке неизвестных остается прежней. Но здесь все эпюры от единичных неизвестных (рис. 64, в-д)

будут только симметричными или обратносимметричными, а канонические уравнения распадутся на две независимые системы, содержащие только симметричные или только обратносимметричные групповые неизвестные. При этом неизвестные перемещения узлов, расположенных на оси симметрии,

149