Файл: Epyury.pdf

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент M X в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для M X : условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для M X в

указанном виде, эпюра M X всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

1.8 КОНСОЛЬНЫЕ БАЛКИ

При построении эпюр Qy и M X в консольных, или жестко защемленных,

балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

11

Пример 3. Построить эпюры Qy и M X (рис.6).

Рис. 6

Порядок расчета.

1.Намечаем характерные сечения.

2.Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.

Qy,1 0;

Qy,2 Qy,3 q 2 20 кН;

Qy,4 Qy,5 Qy,6 Qy,7 q 2 F 20 30 10 кН

По вычисленным значениям строим эпюру Qy .

3. Определяем изгибающий момент M X в каждом характерном сечении.

MX,1 0;

MX,2 q 2 1 20 кН м;

MX,3 MX,4 q 2 2 40 кН м;

MX,5 q 2 3 F 1 30 кН м;

MX,6 MX,5 M 30 50 20 кН м;

MX,7 q 2 5 F 3 M 40 кН м.

12

По вычисленным значениям строим эпюру M X , причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола).

Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

1.9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ q, Qy , Mx

Указанные зависимости используются при построении эпюр поэтому приведем их здесь без соответствующего вывода, который дается в лекционном курсе.

Пример 4. Построить эпюры Qy , Mx (рис.7).

В данном случае для правильного построения эпюры M X необходимо использовать приведенные выше дифференциальные зависимости.

Порядок расчета.

1.Намечаем характерные сечения.

2.Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

Qy,1 F 30 кН;

Qy,2 Qy,3 F q 2 30 40 10 кН.

Строим эпюру Qy .

Характер эпюры, то есть тот факт, что эпюра Qy пересекает ось, говорит о том, что в этом сечении момент M X будет иметь экстремальное значение.

Действительно, пересечение эпюры с осью z означает, что в этом сечении

Qy dMdzx 0 , а из курса математики известно, что если производная функции равна нулю, то сама функция в данной точке имеет экстремальное значение.

13

Для определения положения “нулевого” сечения необходимо величину расположенной слева от него ординаты эпюры Qy разделить на интенсивность распределенной нагрузки q:

Рис. 7

Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

4. Вычисляем экстремальное значение изгибающего момента в сечении,

14

1.10БАЛКИ НА ДВУХ ОПОРАХ

Вотличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения,

расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.

Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

1)MA 0;

2)MB 0.

Условие Fiy 0 используется для проверки вычисленных значений опорных реакций.

Пример 5. Построить эпюры Qy , MX для балки с шарнирным опиранием

(рис.8).

Порядок расчета.

1. Вычисляем реакции опор.

MA 0: RB 5 M F 3 q 2 1 0; RB 30 кН;MB 0: RA 5 M F 2 q 2 4 0; RA 40 кН.

Проверка:

Fiy 0: RA q 2 F RB 40 20 2 30 30 0

2.Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции,

поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

15

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

Строим эпюру Qy .

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

MX,1 0;

MX,2 RA 2 q 2 1 80 40 40 кН м;

MX,3 MX,4 RA 3 q 2 2 120 80 40 кН м;

MX,5 RB 1 M 30 20 10 кН м;

MX,6 RB 1 30 кН м;

MX,7 0.

Рис. 8

Строим эпюру M X

16

Пример 6. Построить эпюры Qy и M X для балки на двух опорах с консолью (рис.9,а)

Порядок расчета.

1. Вычисляем опорные реакции.

справа от опоры В, то есть определена равнодействующая нагрузки q - q 3, ее положение (в середине участка с распределенной нагрузкой), что позволяет определить плечо равнодействующей относительно опоры В и направление создаваемого ею момента. В то же время можно было в уравнении равновесия учитывать отдельно части нагрузки q , приложенные слева и справа от опоры В; при этом второе уравнение равновесия имеет вид:

M Bi 0: M - F 3 - q 2 1 + q 1 0,5 + RA 4 0

Рис.9

17

Вычисленное из этого уравнения значение реакции RA , разумеется,

совпадает с полученным ранее.

Проверка:

Fyi 0: RA F q 3 RB 30 40 30 40 0

2.Намечаем характерные сечения.

3.Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.

Из рассмотрения левой отсеченной части:

Qy,1 Qy,2 RA 30кН;

Qy,3 Qy,4 RA F 30 40 10кН;

Mx,1 M 15 кН м;

Mx,2 Mx,3 M RA 1 15 30 45 кН м;

Mx,4 M RA 2 F 1 15 60 40 35 кН м.

Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:

криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q , и прямолинейная на всех остальных участках.

18