Файл: Степенные ряды.doc

(13)

Подставляя второе начальное условие у'(х=0)=1 в (13), можно найти значение постоянной С₁=1.

Найдем вторую производную от общего решения:

(14)

После постановки (12) и (14) в исходное уравнение получим:

или с учетом того, что С=1 и С₁=1:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

при х⁰: 2С₂=1; C₂=1/2;

при х¹: 2·3С₃= 2;

при х²: 3·4С₄= С₂;

Таким образом, получаем искомое частное решение:

Теперь рассмотрим метод последовательного дифференцирования. Пусть задано дифференциальное уравнение 1 порядка (6) и начальные условия у(х=0)=у₀. Частное решение этого уравнения y=φ(x) можно представить в виде ряда Маклорена:

Найдем коэффициенты этого ряда. Для этого необходимо определить значения функции f(x) и ее производных при х=0:

1. f(0) находят из начальных условий f(0)= у(х=0)=у₀;

2. f'(0) можно найти из заданного уравнения (6):

f'(0) = y'(0)=F(x=0,y= у₀);

3. следующие производные находят путем последовательного дифференцирования уравнения (6).

Аналогично поступают и в случае дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.

Пример 13. Найти частное решение уравнения y'=x²+y² в виде ряда Маклорена при начальном условии у(х=0)=1 (взять четыре первых членов разложения).

Решение. Из уравнения и начальных условий находим:

f(0)= у(х=0)=1; f'(0) = y'(0)= 0²+1²=1.

Дифференцируя заданное уравнение, последовательно получаем: y''=(x²+y²)'=2х+2уу'; y'''=(2х+2уу')'=2+2у'у'+2уу''.

Полагая х=0 и используя значения у(0)=1 и y'(0) =1, находим:

y''=2·0+2·1·1=2 и y'''=2+2·1·1+2·1·2=8.

Тогда искомое решение имеет вид:

Контрольные вопросы

1. Дайте определение степенного ряда, разложенного по степеням х.

2. Дайте определение области сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х.

3. Как можно найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х?

4. Дайте определение степенного ряда, разложенного по степеням (х-а).

5. Дайте определение области сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а).

6. Как можно найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, разложенного по степеням (х-а)?

7. Перечислите основные свойства степенных рядов.

8. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

9. Приложения степенных рядов.

Литература

1. ^{Мантуров О.В. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1991.  448 с.}

2. ^{Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2.  М.: Высш. шк., 1980.  365 с.}

3. ^{Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2 – М.: Наука, 1972.  312 с.}

4. ^{Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Высш. шк., 1972.  472 с.}

5. ^{Сборник задач по курсу высшей математики. /Под ред. Г.И.Кручковича.  М.: Высш. шк., 1973.  576 с.}

6. ^{Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вузов. – М.: Наука, 1989.  736 с.}

Оглавление

Введение………………………………………………………………..3

1. Основные понятия…..………………………………………..……...3

2. Степенные ряды, разложенные по степеням х .………………… 3

3. Степенные ряды, разложенные по степеням (х-а)………………...7

4. Свойства степенных рядов …………………………………….…...9

5. Разложение функций в степенные ряды…………………………. 10

6. Приложения степенных рядов ………………………………….....11

Контрольные вопросы……………………………………………...18

Литература…………………………………………………………. 19

^{Юлия Борисовна Егорова}

^{Игорь Михайлович Мамонов}

^{Александр Витальевич Челпанов}

^{СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ}

^{Методические указания к практическим занятиям}

^{по дисциплине «Высшая математика»}

^{Редактор М.А. Соколова}

^{Подп. в печать 31.03.09 Уч.-изд.л.} 0,87.^{Тираж 50 экз. Зак. №40}

^{Издательский центр МАТИ}

^{109240, Москва, Берниковская наб., 14}

*В круглых или квадратных скобках указан интервал сходимости данного ряда. Разложение функций в ряд Маклорена справедливо только длях, при которых ряд сходится.

20