Файл: Гипотегы о дисперсиях..doc

2. Проверка гипотезы о сравнении двух дисперсий

^{Пусть генеральные совокупности исследуемых случайных величин Х и Y распределены нормально: Х~N(mх,σх) и Y~N(my,σy). Генеральные дисперсии D(X) и D(Y) неизвестны.}

^{Из генеральных совокупностей Х и Y сделаем выборки объемами n1 и n2. Найдем соответственно выборочные средние ии «исправленные» дисперсиии.}

При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что «исправленные» выборочные дисперсии различаются незначимо, т.е. генеральные дисперсии равны между собой:

Н_о: D(Х)= D(Y).

^{Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия F, имеющего закон распределения Фишера-Снедекора со степенями свободы k1=n1-1 и k2=n2-1:}

^{где и– большая и меньшая дисперсия соответственно;k1 – число степеней свободы большей дисперсии; k2 – число степеней свободы меньшей дисперсии.}

^{Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.}

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)≠ D(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точкув зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1.

3. Если, то нулевая гипотеза принимается.

---

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)> D(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точкув зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1.

3. Если, то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

ПРИМЕР 2. Технологи механосборочного цеха считают, что применение нового резца позволит сократить время обработки детали. Пять деталей были изготовлены старым резцом: среднее время обработки одной детали составило 3,3 мин с «исправленной» дисперсией – 0,25 мин². Шесть деталей были изготовлены новым резцом: среднее время обработки одной детали составило 2,48 мин с «исправленной» дисперсией – 0,108 мин². При уровне значимости 0,05 проверьте, значимо ли различаются «исправленные» выборочные дисперсии.

РЕШЕНИЕ. По условию n₁=5; мин;мин.²; n₂=6; мин;мин², α=0,05.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y). Относительно альтернативной гипотезы возможны два случая: а) D(Х)≠ D(Y).; б) Н₁: D(Х)> D(Y). (так как ). Рассмотрим эти случаи.

---

а) Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)≠ D(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия :

2. по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точкув зависимости от уровня значимостиα=0,05 и числа степеней свободы k₁=n₁-1=5-1=4 и k₂=n₂-1=6-1=5:

3. Если, то нулевая гипотеза принимается.

б) Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: D(Х)= D(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: D(Х)> D(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия

2. по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. Приложение 2) определяем критическую точкув зависимости от уровня значимостиα=0,02 и числа степеней свободы k₁=n₁-1=5-1=4 и k₂=n₂-1=6-1=5:

3. Если, то нулевая гипотеза принимается.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что «исправленные» выборочные дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что генеральные дисперсии равны.

---

---

3. Индивидуальные задания

^{По исходным данным, приведенным в методических указаниях «Первичная статистическая обработка экспериментальных данных. Часть 3. Задания» [5], проверить при уровне значимости  =0,05 гипотезы:}

1. Проверить гипотезу о равенстве двух дисперсий D(Х)=D(У) для малых выборок (принять n₁=8; n₂=10; ).

2. Проверить гипотезу, что генеральная дисперсия случайной величины равна D(Х)=₀² при n=10.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные принципы проверки гипотез.

2. Как проверяется гипотеза о равенстве «исправленной» выборочной дисперсии и генеральной дисперсии?

3. ^{Как проверяется гипотеза о равенстве двух «исправленных» выборочных дисперсий?}

Литература

1. ^{Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.  Изд.7-е, стер.  М.: Высш. шк., 2001. 479 с.}

2. ^{Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.  Изд.5-е, стер.– М.: Высш. шк., 2001.  400 с.}

3. ^{Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.  М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001 .  543 с.}

4. ^{Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. – Ростов н/Д: Феникс, 1999.– 320 с.}

5. ^{Егорова Ю.Б., Мамонов И.М.} Первичная статистическая обработка экспериментальных данных. Часть 3. Задания: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика». – М.: МАТИ, 2008. – 20 с.

Приложение 1

Критические точки распределения Пирсона

Число степеней свободы k	2 при уровне значимости α
	0,975	0,025	0,05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0 16,8	5,0 7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40,6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0	3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

---