Файл: Гипотегы о средних. Сравнение двух средних.doc

^{ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ}

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

^{«МАТИ» - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО}

^{Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»}

Проверка статистических гипотез.

Гипотезы о средних (о математических ожиданиях).

Сравнение двух средних.

^{Методические указания к практическим занятиям}

^{по дисциплине «Математическая статистика»}

^{Составители: Егорова Ю.Б.}

^{Мамонов И.М.}

^{МОСКВА 2009}

^{Проверка статистических гипотез. Гипотезы о средних (о математических ожиданиях). Сравнение двух средних: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2009. – 16 с.}

^{ Егорова Ю.Б.,}

^{Мамонов И.М.,}

^{составление, 2009}

^{ МАТИ, 2009}

^{ВВЕДЕНИЕ}

^{Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания.}

1. ^{ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СРАВНЕНИИ ДВУХ}

---

^{ГЕНЕРАЛЬНЫХ СРЕДНИХ (ДВУХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ)}

^{1.1. Генеральные дисперсии известны (большие независимые выборки n≥30)}

^{Пусть генеральные совокупности исследуемых случайных величин Х и Y распределены нормально: Х~N(mх,σх) и Y~N(my,σy). Предположим, что генеральные дисперсии D(X) и D(Y) известны, например, по многолетним наблюдениям, или заданы по проекту, или найдены теоретически, или вычислены по выборкам большого объема (n≥30). Из генеральных совокупностей Х и Y сделаем выборки объемами n1 и n2. Найдем соответственно выборочные средние и.}

^{При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборочные средние различаются незначимо, т.е. математические ожидания (генеральные средние) равны между собой:}

^{Но: М(Х)=М(Y).}

^{Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия Z, имеющего нормированный нормальный закон распределения с параметрами М(Z)=0, σ( Z)=1:}

^{Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.}

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

---

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)>М(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия.

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Третий случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)<М(Y).

В этом случае строят левостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия.

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

ПРИМЕР 1. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих. В первой группе рабочих численностью 50 человек, где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила 85 изделий. Во второй группе численностью 70 человек выборочная средняя составила 78 изделий. Генеральные дисперсии в группах соответственно равны 100 и 74 (изделия)². При уровне значимости 0,05 необходимо выяснить значимо ли влияние новой технологии на среднюю выработку.

---

РЕШЕНИЕ. По условию n₁=50; изд.;D(X)=100 изд.²;

n₂=70; изд.;D(Y)=74 изд.², α=0,05. Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)=М(Y). Относительно альтернативной гипотезы возможны два случая: а) М(Х)≠М(Y); б) Н₁: М(Х)>М(Y) (так как ). Рассмотрим эти случаи.

а) Н_о: М(Х)=М(Y)

Н₁: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия:

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3) Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

б) Н_о: М(Х)=М(Y).

Н₁: М(Х)>М(Y).

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия =1,645 из равенства

3) Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочные средние различаются значимо и, следовательно, новая технология позволяет повысить среднюю выработку рабочих.

---

^{1.2. Генеральные дисперсии неизвестны (малые независимые выборки n<30)}

^{Пусть генеральные совокупности исследуемых случайных величин Х и Y распределены нормально: Х~N(mх,σх) и Y~N(my,σy).}

^{Генеральные дисперсии D(X) и D(Y) неизвестны, но можно полагать, что равны между собой*.}

^{Из генеральных совокупностей Х и Y сделаем выборки объемами n1 и n2. Найдем соответственно выборочные средние ии «исправленные» дисперсиии.}

^{При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборочные средние различаются незначимо, т.е. математические ожидания (генеральные средние) равны между собой:}

^{Но: М(Х)=М(Y).}

^{Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия Т, имеющего закон распределения Стьюдента с k=n1+n2-2 степенями свободы:}

^{Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.}

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)=М(Y).

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)≠М(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значения критерия для двусторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k=n₁+n₂-2.

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

---