ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.12.2025
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
Если
,
то нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная.
Второй случай.
Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).
Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)>М(Y).
В этом случае строят правостороннюю критическую область.
Порядок проверки нулевой гипотезы:
по выборке определяем наблюдаемое значение критерия
.по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия
для односторонней критической области
в зависимости от уровня значимостиα
и числа степеней свободы
k=n1+n2-2.Если
,
то нулевая гипотеза принимается.
Если
,
то нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная.
Третий случай.
Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).
Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)<М(Y).
В этом случае строят левостороннюю критическую область.
Порядок проверки нулевой гипотезы:
1)
по выборке определяем наблюдаемое
значение критерия
.
по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия
для односторонней критической области
в зависимости от уровня значимостиα
и числа степеней свободы k=n1+n2-2.Если
,
то нулевая гипотеза принимается.
Если
,
то нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная.
ПРИМЕР 2. Технологи механосборочного цеха считают, что применение нового резца позволит сократить время обработки детали. Пять деталей были изготовлены старым резцом. Среднее время обработки одной детали составило 3,3 мин с «исправленной» дисперсией 0,25 мин2. Шесть деталей были изготовлены новым резцом. Среднее время обработки одной детали составило 2,48 мин с «исправленной» дисперсией 0,108 мин2. При уровне значимости 0,05 проверьте, позволило ли использование нового типа резцов сократить время обработки детали.
РЕШЕНИЕ.
По условию
n1=5;
мин;
мин.2;
n2=6;
мин;
мин2,
α=0,05. Генеральные дисперсии неизвестны,
но будем полагать, что они одинаковы*.
Выдвигаем нулевую
гипотезу Но:
М(Х)=М(Y).
Относительно альтернативной гипотезы
возможны два случая: а) М(Х)≠М(Y);
б) Н1:
М(Х)>М(Y)
(так как
).
Рассмотрим эти случаи.
а) Но: М(Х)=М(Y)
Н1: М(Х)≠М(Y).
В этом случае строят двустороннюю критическую область.
Порядок проверки нулевой гипотезы:
по выборке определяем наблюдаемое значение критерия
:
по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия
=2,26
для односторонней критической области
в зависимости от уровня значимостиα=0,05
и числа степеней свободы k=n1+n2-2=5+6-2=9.Так как
,
то нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная.
б) Но: М(Х)=М(Y).
Н1: М(Х)>М(Y).
В этом случае строят правостороннюю критическую область.
Порядок проверки нулевой гипотезы:
по выборке определяем наблюдаемое значение критерия
по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия
=1,83
для односторонней критической области
в зависимости от уровня значимостиα=0,05
и числа степеней свободы k=n1+n2-2=5+6-2=9.Так как
,
то нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочные средние различаются значимо и, следовательно, использование нового типа резцов позволило сократить время обработки детали.
ПРИМЕР 3. Годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 120 тыс. у.е., а в регионе В годовой оборот 5 бирж – 125 тыс. у.е. Исправленная выборочная дисперсия в регионе А оказалась равной 30 тыс. у.е., в регионе В – 20 тыс. у.е. Можно ли при уровне значимости 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А меньше, чем в регионе В?
РЕШЕНИЕ.
По условию
n1=4;
тыс.
у.е..;
тыс. у.е.2;
n2=5;
тыс.
у.е.;
тыс. у.е.2.
Генеральные дисперсии неизвестны, но
будем полагать, что они одинаковы*.
Выдвигаем нулевую гипотезу Но: М(Х)=М(Y).
Выдвигаем альтернативную гипотезу Н1: М(Х)<М(Y).
В этом случае строят левостороннюю критическую область.
Порядок проверки нулевой гипотезы:
по выборке определяем наблюдаемое значение критерия
:
по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия
=1,89
для односторонней критической области
в зависимости от уровня значимостиα=0,05
и числа степеней свободы k=n1+n2-2=4+5-2=7.Так как
,
то нулевая гипотеза отвергается и
принимается альтернативная.
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочные средние различаются значимо и, следовательно, средний оборот бирж в регионе А меньше, чем в регионе В.
Индивидуальные задания
По исходным данным, приведенным в методических указаниях «Первичная статистическая обработка экспериментальных данных. Часть 3. Задания» [5], проверить параметрические гипотезы при уровне значимости =0,05:
Проверить гипотезу о равенстве двух математических ожиданий М(Х)=М(У) для больших выборок (n1=n2=n, где n – объем выборки задания).
Проверить гипотезу о равенстве двух математических ожиданий М(Х)=М(У) для малых выборок (n1=8; n2=10).
Контрольные вопросы
Сформулируйте основные принципы проверки гипотез.
Как проверяется гипотеза о равенстве двух математических ожиданий, если дисперсии известны?
Как проверяется гипотеза о равенстве двух математических ожиданий, если дисперсии неизвестны?
Приложение 1
Таблица значений
функции Лапласа
|
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
|
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41
|
0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 |
0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 |
0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 |
0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 |
0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 |
1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 |
0,3969 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 |
|
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
|
1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 |
0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 |
1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 |
0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 |
2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 |
0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967
|
2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 |
0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997 |
Приложение 2
Критические точки распределения Стьюдента
|
Число степеней свободы k |
Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) |
|
|
0,1 |
0,05 |
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 …
|
6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 …
|
12,70 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 … |
|
0,05 |
0,025 |
|
|
Уровень значимости α (односторонняя критическая область) |
||