или, отбрасывая лишние десятичные знаки,

.

Таким образом, члены итерационной последовательности иопределяютс недостатком и с избытком с погрешностью, которая не превышает разности:

.

Точность, которой мы достигли после 19 итераций, примерно соответствует точности 12 шагов метода вилки. Причина такого различия ясна. В обоих методах погрешность убывает по закону геометрической прогрессии. Для метода вилки знаменатель прогрессии равен 1/2. Он не зависит от вида функции . Для метода итераций знаменатель прогрессии равен константе Липшица. В рассматриваемом примере. Поэтому скорость сходимости метода итераций медленнее скорости сходимости метода вилки. Метод итераций имеет преимущество перед методом вилки в скорости сходимости только при.

Таблица 2

---

3. Метод касательных (метод Ньютона).

Метод касательных, связанный с именем Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция , имеющая кореньна отрезке, дифференцируема на этом отрезке и ее производнаяне обращается на нем в ноль. Возьмем произвольную точкуи запишем уравнение касательной к графику функциив этой точке

.

График функции и ее касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точкапересечения касательной с осьюбудет расположена недалеко от корня(см. рис. 2). Для определения точкиимеем уравнение

,

согласно которому

.

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точкеи найдем для нее точку пересеченияс осью(см. рис. 2):

.

Продолжая этот процесс, получим последовательность , определенную с помощью рекуррентной формулы

---

.

При ее исследовании, как и при исследовании последовательности метода итераций, встают два вопроса:

1. Можно ли процесс вычисления чисел по рекуррентной формуле продолжать неограниченно, т. е. будут ли эти числа принадлежать отрезку?

2. Если процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность при?

При анализе этих вопросов предположим, что корень является внутренней точкой отрезка, а функциядважды непрерывно дифференцируема на данном отрезке, причем ее производные удовлетворяют неравенствам

,,.

Следует обратить внимание на то, что в неравенствах величина дает оценку модуля первой производнойснизу, а величинаоценку модуля второй производнойсверху.

Теорема о сходимости метода касательных.

Если функция удовлетворяет сформулированным условиям, то найдется такое:, что при любом выборе начального приближенияна отрезкесуществует бесконечная итерационная последовательность и эта последовательность сходится к корню.

---

В силу предположения о дифференцируемости функции и неравенстве нулю ее производной, уравнение эквивалентно на отрезкеуравнению

, где,

так что корень исходного уравнения является одновременно корнем уравнения . Исследуем возможность отыскания этого корня с помощью метода итераций.

Вычислим и оценим производную функции :

,

.

Теперь воспользуемся непрерывностью функции и ее равенством нулю в точке. Возьмем. Для данногоможно указать такое:, что для всехвыполняется неравенство

.

Учитывая это, получим окончательную оценку производной

,.

В соответствии с результатами предыдущего параграфа, неравенство означает, что уравнение можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения на отрезке существует бесконечная последовательность , сходящаяся к корню. Нам остается только заметить, что итерационной последовательностью для уравнения является последовательность метода касательных.

---

Требование близости нулевого приближения к искомому корню является существенным для метода касательных. На рис. 3 изображен график той же функции, что и на рис. 2, однаковыбрано дальше от корня, чем в первом случае. В результате после первого шага получается точка, которая не принадлежит исходному отрезкуи процесс построения рекуррентной последовательности обрывается. Таким образом, для правильного выбора нулевого приближения нужно еще до начала расчетов знать область локализации искомого корня. В случае необходимости ее можно уточнить с помощью нескольких шагов по методу вилки. Затруднения, связанные с предварительным исследованием уравнения, вполне окупаются высокой скоростью сходимости метода касательных.

Задача 3.

Найти приближенное значение корня уравнения методом касательных.

Рекуррентная формула метода касательных принимает в данном случае вид

.

Выберем, как и для метода итераций, в качестве нулевого приближения и подсчитаем следующие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице 3. Мы видим, что, начиная с номера, последовательность убывает, приближаясь к корнюсверху. После четвертого шага процесс «останавливается»: пятая итерация дает тот же результат. Причина этого явления заключается в следующем. Расчеты ведутся с 12 десятичными знаками. Когда погрешность оказывается меньше, становится невозможно уловить разницу междуи, лежащую за пределами ошибки округления.

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc