Таблица 3.

Приведенный пример показывает очень высокую скорость сходимости метода Ньютона. После двух шагов мы достигли точности . Это лучше результатов, которые мы имели в методе вилки на девятом шаге, в методе итераций – на девятнадцатом. После четырех шагов погрешность в определении корня составила.

Задача 4.

Рассмотреть вычисление как задачу решения уравнения

в области . Написать для вычисления корня уравненияитерационную последовательность по методу касательных. Вычислить с ее помощью.

Рекуррентная формула метода касательных для уравнения принимает вид

.

Она определяет монотонно убывающую последовательность, сходящуюся к сверху.

Перейдем ко второй части задания. Напомним, что . Выбирая, сделаем несколько итераций по формуле :

Третья итерация определяет с погрешностью.Расчет по формуле много проще вычисленияпо школьному алгоритму последовательного определения десятичных знаков.

---

4. Заключительные замечания

Мы познакомились с тремя методами численного решения уравнений, наряду с ними существуют еще несколько методов, на которых мы не останавливались. Ситуация, когда одну и ту же математическую задачу можно решать с помощью разных методов, является довольно типичной. В таких случаях естественно возникает необходимость сравнения их между собой.

При оценке эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:

1. Универсальность.

2. Простота организации вычислительного процесса и контроля точности.

3. Скорость сходимости.

Посмотрим с этой точки зрения на разобранные методы решения уравнений.

1. Наиболее универсальным является метод вилки: он требует только непрерывности функции . Два других метода накладывают более жесткие ограничения. Во многих случаях это преимущество метода вилки может иметь существенное значение.

2. С точки зрения организации вычислительного процесса все три метода очень просты. Однако и здесь метод вилки обладает определенными преимуществами. Вычисления можно начинать с любого отрезка , на концах которого функцияпринимает значения разных знаков. Процесс будет сходиться к корню уравнения, причем на каждом шаге он дает двухстороннюю оценку, по которой легко контролировать достигнутую точность. Сходимость же метода итераций и касательных зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

3. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных. В случае, когда подсчет значений функции сложен и требует существенных затрат машинного времени, это преимущество становится определяющим.

Итак, мы видим, что ответ на вопрос о наилучшем численном методе решения уравнений не однозначен. Он существенно зависит от того, какую дополнительную информацию о функции мы имеем и, в соответствии с этим, каким свойствам метода придаем наибольшее значение.

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc