Предположим, что функции выбраны такими, что определитель матрицы Грама, отличен от нуля:

.

В этом случае при любой правой части система имеет единственное решение

.

Рассмотрим наряду с набором коэффициентов , полученных в результате решения системы , любой другой набор коэффициентов . Представим числав виде

и сравним значения суммарной квадратичной погрешности для функций , построенных с помощью коэффициентов и .

Квадрат погрешности и точке для функции с коэффициентами можно записать в виде

Здесь в среднем слагаемом мы заменили в одной из сумм индекс суммирования на, чтобы не использовать один и тот же индекс в двух разных суммах и иметь возможность перемножить их почленно.

Чтобы получить суммарную квадратичную погрешность, нужно просуммировать выражения для по индексуПервые слагаемые не содержат. Их сумма дает погрешность, вычисленную для функции с коэффициентами .

Рассмотрим теперь сумму вторых слагаемых, которые зависят от линейно:

---

Здесь мы поменяли местами порядок суммирования и воспользовались тем, что коэффициенты , удовлетворяют системе уравнений .

С учетом будем иметь

Формула показывает, что функция с коэффициентами , полученными в результате решения уравнений , действительно минимизирует суммарную квадратичную погрешность. Если мы возьмем любой другой набор коэффициентов , отличный от , то согласно формуле к погрешностидобавится положительное слагаемое и она увеличится.

Итак, чтобы построить наилучшее приближение сеточной функции , по методу наименьших квадратов, нужно взять в качестве коэффициентов разложения решение системы линейных уравнений .

Задача 7

Сеточная функция задана таблицей 1

.

Таблица 1:

0	0,0	0,95
1	0,5	1,54
2	1,0	2,04
3	1,5	2,46
4	2,0	2,95

---

Построить линейную функцию

,

которая дает для нее наилучшее приближение по методу наименьших квадратов.

В рассматриваемом случае имеем:

.

Для определения коэффициентов исоставим систему уравнений . Элементыматрицы Грама вычисляются по формуле

,

,

.

Числа и, стоящие в правой части уравнений , находим по формуле

,

.

В результате система принимает в рассматриваемом случае вид

Определитель системы , так что система имеет единственное решение

.

В результате мы получаем следующую линейную аппроксимацию рассматриваемой табличной функции

.

Теперь, когда функция построена, можно подсчитать погрешность аппроксимации в точках сетки:

,.

В результате получаем

.

Отметим, что наибольшая по модулю погрешность достигается в точке :,.

---

В заключение сделаем важное замечание. Обычно бывает известна точность , с которой задаются значения функции. Например, если речь идет об экспериментальных данных, то ошибка в определениизависит от методики проведения измерений и точности приборов.

Предположим, что в разобранном примере числа заданы с точностью. В этом случае построенная линейная функция согласуется с доступной нам информацией о функции: погрешности по модулю не превышают. В результате мы можем утверждать, что в пределах точности задания таблицы зависимостьотможно принять линейной.

Это видно на рис.4. На нем показаны точки , соответствующие рассматриваемой таблице. Для каждой из них указан доверительный интервал, в пределах которого может реально находится значение функциис учетом точности задания величины. Прямая везде проходит внутри доверительных интервалов, что подтверждает сделанный выше вывод.

Рассмотрим теперь противоположный случай: будем считать, что величины заданы с более высокой точностью. При такой точность построенная линейная аппроксимация не согласуется с данными таблицы: погрешность аппроксимации превышает по модулю. В этом случае нужно либо увеличить число членов в разложении функции, добавив к линейной функции квадратичный член, либо заменить систему функций, по которым ведется разложение, на какую-нибудь другую.

---

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc