В заключение отметим, что из трех различных представлений интерполяционного полинома первой степени - формула дает его запись в форме Лагранжа.

Задача 2.

Написать интерполяционный полином второй степени для функции по ее значениям в трех точках:,,. Вычислить с помощью этого полинома приближенное значение синуса в точке, сравнить полученный результат с точным значением синуса и подсчитать погрешность.

Воспользуемся для записи полинома формулой Лагранжа . В рассматриваемом случае , так что в формуле останется только два слагаемых соответствующих точками. В результате получим:

Перейдем к выполнению второй части задания. Вычислим с помощью интерполяционного полинома приближенное значения синуса в точке и подсчитаем погрешность:

,.

На рис. 1 приведены для сравнения графики функций (сплошная линия) и(пунктир).

4. Интерполяционный полином в форме Ньютона.

Интерполяционный полином в форме Лагранжа, несмотря на своё изящество, неудобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь полином заново.

Перепишем интерполяционный полином Лагранжа в иной, эквивалентной форме

,

---

где - полиномы Лагранжа степени, соответствующие узлам интерполирования. В частности,- полином нулевой степени.

Полином

имеет степень и по построению обращается в ноль припоэтому его можно представить в виде

,

где - числовой коэффициент при. Поскольку не содержит степени, топросто совпадает с коэффициентом прив полиноме.Согласно и его можно записать в виде

,

где

.

При этом

.

Формулы и позволяют написать рекуррентное соотношение для полинома :

.

Выражая аналогичным образом по индукции через,черези т. д., получим окончательную формулу для полинома:

---

Представление удобно для вычислителя, поскольку увеличение на единицу требует только добавления к «старому» многочлену одного дополнительного слагаемого. Такое представление интерполяционного полиноманазывают интерполяционным полиномом в форме Ньютона.

Из трех эквивалентных представлений интерполяционного полинома первой степени - формула дает его запись в форме Ньютона.

Задача 3.

Написать интерполяционный полином второй степени в форме Ньютона для функции по ее значениям в трех точках: ,,(см. задачу 2).

Согласно формуле

.

Коэффициенты в этом разложении вычисляются по формулам и:

,,.

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу , получим

.

Первоначальные выражения для интерполяционного полинома в форме Лагранжа и Ньютона различны, но окончательные ответы, естественно, совпадают.

---

5. Погрешность интерполирования.

Поставим вопрос о том, насколько хорошо интерполяционный полином приближает функциюна отрезке, то есть попытаемся оценить погрешность (остаточный член)

,.

Сразу же отметим, что по определению интерполяционного полинома

при,

поэтому речь идет об оценке при значениях.

Для того, чтобы это сделать, следует ввести дополнительно предположение о гладкости функции . Предположим, чтоимеетнепрерывную производную на отрезке.

В силу можно представить в виде:

,

где -полином степени :

.

Зафиксируем произвольное значение и рассмотрим вспомогательную функцию от переменной:

,

заданную на отрезке и содержащую переменнуюв качестве параметра. В силу своего определения функцияобязана обращаться в нуль в узлах интерполирования прии кроме того при , т. е. как функция аргументаона имеетнуля:

---

,,.

Если , то все ее нули также лежат на отрезке. Еслито эти нули, вообще говоря, принадлежат отрезку, а если, то они находятся на отрезке. Объединяя эти три случая, скажем, что указанные нули функциипринадлежат отрезку, где.

Согласно известной теореме Ролля можно утверждать, что производная имеет по крайней меренуль на отрезке(эти нули перемежаются с нулями самой функции). Повторяя это рассуждение, заключаем, чтоимеет по крайней меренулей на отрезке,-нуль и, наконец,обращается хотя бы один раз в нуль в некоторой точке, то есть

.

Учитывая, что производная полинома степенитождественно равна нулю, получаем, что

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc

• 7.doc