,

,

.

Мы видим, что даже с двумя узлами формула Гаусса дает хороший ответ. Его точность выше точности ответа, полученного по формуле Симпсона.

В заключение сделаем следующее замечание. Несмотря на высокую точность квадратурных формул Гаусса, при компьютерных расчетах ими пользуются сравнительно редко. Дело в том, что для применения метода Гаусса нужно либо ввести в компьютер до начала расчетов корни полинома Лежандра и весовые коэффициенты, либо составить специальную подпрограмму для их вычисления. В результате потери человеческого и машинного времени на подготовку программы к основному расчету, связанному с вычислением интеграла, могут не окупиться точностью метода Гаусса. Вычисление интеграла по более простой схеме метода Симпсона имеет с этой точки зрения преимущество.

---

4. Построение первообразной с помощью численного интегрирования.

Формулы Ньютона-Лейбница позволяет выразить значение определенного интеграла от функции через ее первообразную. В математическом анализе устанавливается и прямо противоположная возможность: первообразная функции, непрерывной на отрезке, может быть записана в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом:

.

Здесь ,- две точки отрезка, причем нижний предел интегрированияпредполагается фиксированным, верхний- переменным. В случае непрерывной функциифункция, определенная с помощью интеграла , является дифференцируемой и ее производная равна:

.

Формула в сочетании с какой-нибудь формулой численного интегрирования, например, Симпсона, представляет собой универсальный алгоритм построения первообразной. Приведем два примера, иллюстрирующие этот алгоритм.

Функция непрерывна и, следовательно, имеет первообразные. Они не могут быть выражены через элементарные функции, но представление в виде интеграла с переменным верхним пределом для них справедливо. Одну из первообразных мы получим, выбирая нижний предел интегрирования. Ее называют интегральным синусом и обозначают

---

.

Интегральный синус определен на всей числовой прямой, является нечетной функцией , имеет конечные предельные значения на бесконечности

.

Согласно

.

По знаку производной легко определить области возрастания и убывания функции, разделенные точками экстремума . Методы численного интегрирования позволяют вычислить значенияпри любом. График интегрального синуса приприведен на рис. 3.

В качестве второго примера рассмотрим функцию ошибок , играющую важную роль в теории вероятности. Ее обозначение образовано с помощью первых букв английского названия функции ошибок –errorfunction. Подобно интегральному синусу, функция ошибок вводится в виде интеграла с переменным пределом от функции, которая не имеет первообразных в классе элементарных функций:

.

Функция ошибок определена на всей числовой прямой, является нечетной функцией , имеет конечные предельные значения на бесконечности:

.

Согласно

.

Производная всюду положительная, следовательно, функция ошибок монотонно возрастает. Ее график приведен на рис. 4.

Существует ряд других специальных функций, которые вводятся как интегралы с переменным верхним пределом. Не будем останавливаться на их описании, отметим лишь, что разобранные примеры показывают, насколько условно деление функций на элементарные и неэлементарные. По существу, чтобы работать с какой-нибудь функцией, нужно знать ее свойства и иметь алгоритм вычисления при любом значении аргумента. С этой точки зрения применение интегрального синуса или функции ошибок ничем не отличается от применения привычных нам элементарных функций.

---

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~3.doc

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc