Проинтегрировав полином второй степени по отрезку , получим

,.

Интеграл от функции по всему отрезкуравен сумме интегралов

(Напомним, что число должно быть обязательно четным.) Величинадает приближенное значение интеграла:

.

Узлами квадратурной формулы , как и формулы трапеций , являются точки . Весовые коэффициенты в узлах с четными и нечетными номерами имеют разные значения. Для остаточного члена введено обозначение. Формула называется квадратурной формулой Симпсона.

Представление для как и представление для, также можно рассматривать как интегральную сумму. Для ее построения нужно разбить отрезокначастичный отрезок с помощьювнутренних точек

,,

и двух граничных точек

и.

---

В результате получаются отрезки ,различной длины. Два крайних отрезкаиимеют длину. Отрезки, в центре которых лежат точкис четными номерами, - длину, отрезки, в центре которых лежат точкис нечетными номерами, – длину.

Для построения интегральной суммы, соответствующей данному разбиению, возьмем для крайних отрезков значения функции в точкахи, для остальных отрезков – значение функциив их средних точках. В результате получим интегральную сумму в виде выражения . Разные длины частичных отрезков приводит к своеобразному чередованию коэффициентов в виде двоек, четверок и единиц в крайних точках.

Заканчивая обсуждение формул для и для, установим полезную для дальнейшего связь между этими величинами

.

Здесь - сумма с вдвое меньшим числом слагаемых и, соответственно, с вдвое большим шагом. Благодаря этому при ее образовании в качестве узлов используются точкитолько с четными номерами. Поскольку в формуле Симпсонапредполагается обязательно четным, то- целое число, так что выражениеопределено.

---

Соотношение проверяется «в лоб». Из следует, что:

,

.

Вычитая теперь вторую строку из первой, получим равенство .

---

2. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона.

После того, как мы установили, что величины ,,являются интегральными суммами, проблема сходимости рассмотренных методов численного интегрирования решается элементарно. Их сходимость имеет место для любой интегрируемой функции:

,,

,.

.

Этот вывод является прямым следствием определения интегрируемости.

Предельные соотношения – доказывают принципиальную возможность вычисления интеграла от произвольной интегрируемой функции каждым из трех методов с любой точностью за счет выбора достаточно большогои, соответственно, малого шага.

После общего вывода о сходимости методов перейдем к обсуждению основного вопроса, связанного с организацией реального вычислительного процесса: каким нужно взять , чтобы добиться при вычислении интеграла нужной точности. Ответ на него требует анализа остаточных членов. При этом на функциюприходится накладывать дополнительные ограничения, выходящие за рамки предположения об интегрируемости.

Начнем с обсуждения остаточных членов в квадратурных формулах прямоугольников и трапеций. Предположим, что функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке. В курсе математического анализа при этом предположении устанавливаются формулы

---

,

,

где и- некоторые точки отрезка. Существование таких точек гарантировано, но их точное положение неизвестно. (См В. А. Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа». М. 1965. С. 389-397.)

Суммируя равенства и по , получим формулы и со следующими выражениями для остаточных членов

,

.

Рассмотрим суммы

и.

Функция по предположению непрерывна и, следовательно, интегрируема на отрезке. С учетом этого замечания выражения можно рассматривать как интегральные суммы для интеграла. Отсюда следует вывод:

,

.

Предельные равенства и позволяют записать остаточные члены квадратурных формул прямоугольников и трапеций в виде

,

,

где

,

, при,

,

, при.

---

Смотрите также файлы

• BOOK_P~3.doc

• BOOK_P~2.doc

• BOOK_P~1.doc

• BOA462~1.doc

• 8.doc