ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.12.2025
Просмотров: 75
Скачиваний: 0
БИЛЕТ 27
1.Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных
уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула явных методов.
Процесс решения дифференциального уравнения сводится к нахождению каждого следующего значения путем перехода от одной точки, к следующей. При этом метод решения называется одношаговым, если по значению одной предыдущей точки узнают следующее, и многошаговым – если значение следующей точки узнают с помощью значений нескольких предыдущих точек.
Также, численные методы решения можно разделить на
-
Конечно-разностные (обычные, рассматриваемые нами)
-
Методы типа Ронге-Кутта
Можно выделить явные и неявные методы решения задачи. Примерами явных методов могут быть явный метод Эйлера, разложение в ряд Тейлора, а примерами неявных методов – метод Ньютона и неявный метод Эйлера.
Необходимо достичь стационарного состояния, когда решение уже не зависит от времени.
Численно устойчивый метод – если при h→∞, численное решение будет стремиться к истинному решению
Разложение в ряд
Тейлора
Общая формула
явных численных методов решения
дифференциальных уравнений
Явный метод Эйлера
Многошаговый метод надо разгонять
Чем больше p, тем больше можно использовать h, однако p больше 5 использовать не выгодно. Это экстраполяционный процесс.
Однако при численных решениях дифференциальных уравнений возникает ряд проблем, так как при переходе от одной точки к другой возникает погрешность, которая выливается в рассмотрение
-
Локальной погрешности
-
Численной неустойчивости
Таким образом шаг ограничен локальной погрешностью интегрирования
Пусть дано:
Протестируем на этой задаче явный метод Эйлера:
Условие численной устойчивости – главное условие
В среднем потребуется
около 1024
шагов, чтобы дойти до конца
Выводы:
-
Явные способы решения можно представить с помощью Метода Эйлера и ряда Тейлора
-
Все численные методы решения систем дифференциальных уравнений определяют решение по шагам, причем явные методы построены по схеме, когда неизвестная величина находится только в одной части уравнения, а неявные – когда неизвестная величина x(ti) находится и в левой, и в правой частях.
-
все неявные методы до 4 порядка устойчивы
-
Неявный метод порядка i имеет такую же точность, как явный метод порядка (i+1)
2. Метод Ньютона решения нелинейного алгебраического уравнения и системы уравнений, условия и скорость его сходимости.
Для нелинейных уравнений.
Метод определяется формулой xn+1=xn-f(xn)/f’(xn), f’(xn)≠0, n=1,2,…… . Эта формула получается, если в разложении 0=f(x*)= f(xn)+(x*- xn) f’(xn)+1/2(x*- xn)2f”(ξ) ,
ξ = xn+0 (x*- xn), 0≤0≤1 , где x* - точное решение уравнения f(x)=0, отбросить последний член, заменив x* на xn+1: 0=f(xn) +f’(xn)(xn+1-xn). Метод Ньютона также называют методом касательных или методом линеаризации . Его геометрическая интерпретация – участок кривой y=f(x) при x принадлежащим [xn,xn+1 ], если xn<xn+1 (или при x принадлежащим [xn+1, xn], если xn>xn+1), заменяется отрезком касательной, проведённой через точки x=xn. Записывая f(x)=0 в виде x=φ(x), видим , что метод Ньютона также можно трактовать как метод простой итерации с правой частью.
φ(x)=x-f(x)/f’(x). Скорость сходимости одна из самых высоких , квадратичная скорость сходимости.
Для систем нелинейных уравнений.
Систему нелинейных
уравнений можно кратко записать в
векторном виде f(x)=0
или более подробно в координатном виде
fk(x1,x2,…,xn)=0,
1≤k≤n.
Такие системы решают практически только
итерационными методами. Рассмотрим
метод Ньютона. Пусть известно некоторое
приближение x(s)
к корню
.
Как и для одной переменной, запишем
исходную систему f(x)=0
в виде f(x(s)
+Δx)=0,
где Δx=
-
x(s).
Разлагая эти уравнения в ряды и
ограничиваясь первыми дифференциалами,
т.е. линеаризуя функцию , получим
, 1≤k≤n.
Это система уравнений, линейных
относительно приращений
;
все коэффициенты этой системы выражаются
через последнее приближение x(s).
Решив эту систему (например методом
исключения), найдём новое приближение
x(s+1)=
x(s)+Δx(s).
Как и для одной переменной , метод Ньютона
модно формально свести к методу
последовательных приближений, положив
φ(x)=x-[∂f/∂x]-1f(x),
где [∂f/∂x]-1
есть матрица,
обратная матрице производных. Аналогично
производится теоретический анализ
условий сходимости. Однако достаточное
условие сходимости, записанное в
координатной форме , здесь имеет несколько
сложный вид, что проверить его выполнимость
почти никогда не удаётся. Отметим только
очевидный результат: в достаточно малой
окрестности корня итерации сходятся,
если det
[∂f/∂x]
≠ 0, причём сходимость квадратичная.
Следовательно, если нулевое приближение
выбрано кдачно, то метод Ньютона сходится,
причём очень быстро(обычно за 3-5 итераций).