Файл: Вопрос 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 13.doc

7.Необходимость построения математических моделей

Математическая модель - приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Матмодель — мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления. Анализ Матмодели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений.

Этапы построения матмодели:

1. Формулируются предмет и цели исследования.

2. В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов.

3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели.

4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними. Тем самым, формулируется матмодель.

5. Производятся расчеты по матмодели и анализ полученного решения.

6. Проверка адекватности модели, при необходимости вносятся изменения.

Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления.

Вопрос № 8. Типы математических моделей

Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть)

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»[20]

---

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно придти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым)

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) — это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей (то есть не производится линеаризация нелинейных уравнений, а просто ищутся линейные уравнения, описываюшие объект), то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4 (все нелинейные детали «для ясности» опускаем).

---

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела,жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Тип 5: Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии,теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)

Р. Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга о природе ядерных сил. «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон — протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H − H + , обусловленным переходом электрона между двумя протонами. … Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью взаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований».

Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена.

---

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример — массовое производство формально — кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа — демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

В основе содержательной классификации — этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.

Вопрос № 9: Методы рационального принятия решений

Рациональное решение - это решение, которое основывается на базе аналитического процесса и часто не зависит от предшествующего опыта.

Опять же – в реальности процесс принятия решения часто представляет из себя комбинацию из перечисленных 3-х видов. Но рациональному объяснению поддается только третий, поэтому о нем – подробнее.

Структура принятия рационального решения в упрощенном и схематичном виде будет выглядеть след. образом:

1. Сбор информации о возможных проблемах

·         Наблюдение за внутренней средой фирмы

·         Наблюдение за внешней средой

2. Выявление и определение причин возникновения проблемы

·         Описание проблемной ситуации

·         Выявление организационного звена, где возникла проблема

·         Формулировка проблемы

·         Оценка ее важности

·         Выявление причин возникновения проблемы

3. Формулирование целей решения проблемы

·         Определение целей фирмы

·         Формулировка целей решения проблемы

4. Обоснование стратегии решения проблемы

·         Детальное описание объекта

---

·         Определение области изменения переменных факторов

·         Определение требований к решению

·         Определение критериев эффективности решения

·         Определение ограничений

5. Разработка вариантов решения

·         Расчленение задачи на подзадачи

·         Поиски идей решения по каждой подзадаче

·         Построение моделей и проведение расчетов

·         Определение возможных вариантов решения по каждой подзадаче и подсистеме

·         Обобщение результатов по каждой подзадаче

·         Прогнозирование последствий решений по каждой подзадаче

·         Разработка вариантов решения всей задачи

6. Выбор лучшего варианта

·         Анализ эффективности вариантов решения

·         Оценка влияния неуправляемых параметров

7. Корректировка и согласование решения

·         Проработка решения с исполнителями

·         Согласование решения с функционально взаимодействующими службами

·         Утверждение решения

8. Реализация решения

·         Подготовка рабочего плана реализации

·         Его реализация

·         Внесение изменений в решение в ходе реализации

·         Оценка эффективности принятого и реализованного решения

Такое схематичное линейное движение в процессе принятия решения может быть уместным и эффективным при решении задачи с большим количеством явных переменных, которые необходимо структурировать и расставить по местам. Эта система наилучшим образом проявляет себя тогда, когда направлена на решение задач, поддающихся анализу, задач, в которой все переменные могут быть измерены и структурированы с помощью логических действий.

Но нередко бывает так, что цели организации не определены, а оперативные задачи подразделений — противоречивы. Когда цели неясны и несовместимы, менеджеры не могут прийти к единому мнению о приоритетах проблем. Поэтому они непременно должны собраться вместе и решить какие проблемы и как следует решать в первую очередь. Эта модель принятия решения с помощью создания коалиций получила название модели Карнеги.

Метод хорош тем, что наряду с количественными и рациональными показателями окончательное решение может включать в себя так же и качественные – неформальные мнения менеджеров, их опыт, взгляды и интуицию. Т.е. фактически метод коалиции представляет из себя симбиоз из трех перечисленных выше методов принятия решения.

---