Файл: Семестровая работа. Теория пластических деформаций.docx

В деформационной теории пластичности устанавливается связь между деформациями н напряжениями. Ранее было показано, что уравнения пластического состояния по теории течения можно интегрировать лишь для вполне определенного способа нагружения или деформирования. Но можно указать и целый ряд способов нагружения, для которых эти уравнения интегрируются. Это простые нагружения. Критерия простого нагружения примем в виде:

где — компоненты девхатора напряжений,

φ — переменный скалярный параметр,

— постоянный девиатор.

Простое нагружение возможно лишь при небольших деформациях. При больших конечных деформациях простое нагружение в общем случае неосуществимо, поэтому деформационную теорию пластичности называют еще теорией малых упруго-пластических деформаций. В связи с этим воспользуемся формулами теории бесконечно малых деформаций.

Допустим, что упрочнение является изотропным, а деформации согласно складываются из упругих и пластических деформаций, т. е.:

Примем далее, что относительное изменение объема и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как н при упругой деформации:

Пусть, наконец, напряжения и упругие деформации связаны между собой законом Гука:

А в прямоугольной декартовой системе координат:

В соответствии с уравнением (15) объемная деформация равна:

где - упругая объёмная деформация;

– пластическая объемная деформация.

Заменим в уравнение по формулам уравнения. Получим . Сравнивая с уравнением выше, находим, что:

Т.е. пластическая объемная деформация равна нулю. Следовательно, девиатор пластических деформация и тензор пластических деформация совпадают. Поэтому компоненты девиатора пластических деформаций равны компонентам тензора пластических деформаций, т.е.:

Примем энергетическое условие пластичности Губера-Мизеса, а в качестве меры упрочнения примем интенсивность деформаций ε_и. Тогда справедлива гипотеза «единой кривой» .

Связь между деформациями и напряжениями по деформационной теории пластичности.

Выразив деформации через компоненты соответствующих девиаторов, получим . По формуле =0 получим . Тогда:

Заменив согласно уравнению , а выражением . Получим, заменяя на основании

Интенсивность деформаций ε_и выразим через компоненты девиатора деформаций:

Заменяя e_ij, получим что[1]:

т.е. интенсивность деформаций равна сумме интенсивностей упругих и пластических деформаций.

Заменяя получим:

Выразим среднюю деформацию. Получим уравнение состояния пластически деформируемой среды по деформационной теории, называемые соотношениями Г. Генки:

или в прямоугольной декартовой системе координат

Заменим согласно K = E/3, а . После простых алгебраических преобразований получим соотношения Генки-Ильюшина:

По внешнему виду эти уравнения похожи на уравнения обобщенного закона Гука. Но, в отличии от последних, они являются нелинейными. Можно показать, что уравнения деформационной теории по существу являются уравнениями нелинейно-упругой среды, у которой связь между σ_и и ε_и такая же, как у пластической среды при непрерывном нагружении.

2.2. Теория пластического течения (теория течения).

Основные предпосылки. В основе уравнений состояния пластически деформируемой сплошной среды лежат условия пластичности, условия упрочнения н ассоциированный закон течения. В теории пластического течения устанавливается связь между приращениями деформаций dε_ij приращениями напряжений dσ_ij и напряжениями σ_ij.

Пусть упрочнение является изотропным, а приращения деформаций dε_ij складываются из приращений упругих dε^е_ij и пластических dε^р_ij деформаций, т. е.:

Примем далее, что относительное изменение объема θ и среднее напряжение σ связаны между собой такой же зависимостью, как и при упругой деформации:

где К = Е/[3 (1-2µ) ] - объемный модуль упругости. Пусть, наконец, приращения напряжений dσ_ij и упругих деформаций dε^е_ij, связаны между собой законом Гука:

а в системе координат общего вида

В соответствие с уравнением приращение объемной деформации равно:

где dθ^e – приращение упругой объемной деформации, dθ^р- приращение пластической объемной деформации. Заменим в уравнении Получим dθ = dθ^e+ dθ^р= dσ/K + dθ^р. Находим, что:

т.е. приращение пластической объемной деформации равно нулю. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций и тензор приращений пластических деформаций совпадают.

Условия пластичности и упрочнения. В качестве условия пластичности f_s(σ^ij) =0 примем энергетическое условие пластичности, по которому наступление пластического состояния определяется только вторым инвариантом девиатора напряжений. Тогда:

В качестве параметра упрочнения q выберем параметр Удквиста. При этом:

т.е. интенсивность напряжений σ_и является функцией параметра Удквиста, не зависящий от вида напряженного состояния.

Связь между приращениями пластических деформаций и напряжениями. Заменим σ_и, получим выражение пластического потенциала через напряжения в прямоугольной декартовой системе координат:

Тогда найдем, учитывая, что ,

В левых частях этих равенств стоят компоненты девиатора приращений пластических деформаций D^p_dε_,а в правых – умноженные на 3dλ компоненты девиатора напряжений D_σ. Следовательно, девиатор приращений пластических деформаций пропорционален девиатору напряжений. Обозначая коэффициент пропорциональности через dλ, получим: