Файл: ChislMet-2017(1_26).pdf

ЯРОШЕВИЧ В.А.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лекции, практические занятия, лабораторный практикум

Версия 1.26 (17.04.2017)

МПиТК, 2-ой курс

МИЭТ — 2017

Оглавление

1 Лекции

6

1.1

Лекция 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Лекция 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Метод деления отрезка пополам. . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Метод простых итераций (МПИ). . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3

Метод Ньютона.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.4

Метод секущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3

Лекция 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.3.1

Интерполяция многочленами . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4

Лекция 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.1

Многочлены Чебышёва. . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.2

Среднеквадратическое приближение (метод наимень-

ших квадратов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.4.3

Многочлены Эрмита . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.4.4

Интерполяция кубическими сплайнами . . . . . . . .

36

1.5

Лекция 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.5.1

Кусочная интерполяция (КИ) . . . . . . . . . . . . . .

38

1.5.2

Другие способы интерполяции . . . . . . . . . . . . .

39

1.5.3

Обратная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.5.4

Численное дифференцирование (ЧД) с помощью мно-

гочлена Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.5.5

Метод неопределённых коэффициентов. . . . . . . . .

41

1.5.6

Разложение в ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . .

42

2

Оглавление

3

1.5.7

Неустойчивость формул численного дифференциро-

вания

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.5.8

Метод Рунге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.6

Лекция 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.6.1

Формула прямоугольников

. . . . . . . . . . . . . . .

47

1.6.2

Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.6.3

Формула Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.7

Лекция 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1.7.1

Метод Рунге

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1.7.2

Оценка погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

1.7.3

Формулы Ньютона–Котеса

. . . . . . . . . . . . . . .

56

1.8

Лекция 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1.8.1

Устойчивость квадратурных формул к погрешностям

входных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

1.8.2

Приёмы вычисления несобственных интегралов

. . .

63

1.9

Лекция 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

1.9.1

Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . .

66

1.9.2

Численные методы и линейная алгебра . . . . . . . .

68

1.9.3

Прямые методы решения СЛАУ . . . . . . . . . . . .

69

1.9.4

Погрешность численного решения СЛАУ . . . . . . .

72

1.9.5

Итерационные методы решения СЛАУ . . . . . . . . .

76

1.10 Метод Прогонки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

1.11 Численное решение дифференциальных уравнений

. . . . .

89

2 Практические занятия

97

2.1

Занятие 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.1.1

Ошибки в вычислениях, числа с плавающей точкой .

97

2.1.2

Матричные вычисления в Matlab . . . . . . . . . . . 99

2.2

Занятие 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.2.1

Метод дихотомии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.2.2

Метод простых итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Оглавление

4

2.2.3

Метод Ньютона.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.3

Занятие 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3.1

Интерполяция по Лагранжу и Ньютону. Оценка оста-

точного члена.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3.2

Многочлены Чебышева

. . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.4

Занятие 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.4.1

Среднеквадратическое приближение . . . . . . . . . . 112

2.4.2

Численное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . 113

2.5

Занятие 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.5.1

Численное дифференцирование (продолжение) . . . . 116

2.5.2

Численное интегрирование

. . . . . . . . . . . . . . . 118

2.6

Занятие 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.6.1

Численное интегрирование (продолжение)

. . . . . . 121

2.6.2

Матричные вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.7

Занятие 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.7.1

Решение дифференциальных уравнений . . . . . . . . 126

3 Лабораторный практикум

129

3.1

ЛР 1. Распространение ошибок в вычислительных процеду-

рах.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.2

ЛР 2. Методы дихотомии, Ньютона, простых итераций. . . . 133

3.3

ЛР 3. Интерполяция функций. Полиномы Лагранжа, Нью-

тона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.4

ЛР 4. Дифференцирование функции, заданной таблично. . . 137

3.5

ЛР 5. Интегрирование функций. Формулы трапеций, Симп-

сона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.6

ЛР 6. Решение систем линейных уравнений.

. . . . . . . . . 140

3.7

ЛР 7. Метод Эйлера. Схемы Рунге-Кутта решения ОДУ. . . 141

4 Приложения

145

4.1

Список тем для реферативно-расчётной работы . . . . . . . 145

4.2

Определитель Вандермонда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Оглавление

5

4.3

Ряд Тейлора

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.4

Модифицированный метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . 148

Литература

152