Файл: mat_shory_uso.docx

1. Функции одной переменной-правило,по кот каждому знач независ переменной х(из области опред) соотв одно и только одно знач функции у

Элементарные функции – ф-ция, кот получ из осн элементарных ф-ций, путем применения к ним конечного числа осн арифметич действий (+;-;*;/) и путем операции композиции.

2. Предел функц в точке: Пост b наз пределом функц y=f(x) при x->a (или в точке a), если для люб числа e>0 сущ такое число z>0, что при всех x, удовлетвор условию: 0<|x-a|<z, выполняется неравенство: |f(x)-b|<z.

Пред. функц при x-> а, обознач: lim’x->a’f(x)=b; f(x)->b при x->a.

3.Ф-ция a’=a’(x) наз бескон мал при x->a(или x->беск.),если ее предел= 0: lim’x->a’a'(x)=0 (lim’x->беск.’a’(x)=0). Ф-ция y=f(x)наз бескон больш при x->a, если для люб положит числа N можно найти такое число z>0, что при всех значениях x, удовлетвор условию 0<|x-a|<z, выполн неравенство |f(x)|>N. Бескон больш ф-ция не имеет предела при x->a, но иногда условно говорят, что ее предел = бесконеч-ти,и пишут:lim'x-> a'f(x)=беск., или f(x)->беск., при x->a.

4. Осн теоремы о пределах: 1) Ф-ция y=y(x) не может иметь более одного предела при x->a.

2) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некотором промежутке, содержащ точку а.Если при x->a ф-ция y=f(x) имеет положит (отрицат) предел, то найдется z-окрестность точки а такая, что для всех x(-O(a,z) ф-ция положит (отрицат).

3) Если ф-ции u(x), v(x) определ в некоторой z-окрестности точки а, для всех x(-O(a,z), x><a выполн неравенство u(x)<v(x) и ф-ции имеют пределы при x->a, то lim'x->a'u(x)<=lim’x->a’v(x).

4) Пусть три ф-ции u=u(x),y=y(x), v=v(x)опред в некот промежутке, содержащ точку а. Если для люб x из этого промежутка выполняются неравенства u(x)<=y(x)<=v(x) и ф-ции u=u(x), v=v(x) имеют одинак пределы при x->a, то y=y(x) имеет тот же предел при x->a.

5. Перв замечательный предел: lim’x->0’sinx/x=1.

Второй замечательный предел: lim'x->0'(1+x)^1/x=e. где е = 2,71828

6. Сравн бесконечн мал ф-ций:

a’(x)-беск. малая функция x=a

b(x)-беск. малая ф-ция x=a

lim’x->a’a’(x)/b(x)=C(-R

1. C=0 при этом a’(x)-беск. м. ф-ция более высокого порядка, чем b(x) в окр. x=a

2. C=беск., b(x)-б.м. более высокого порядка, чем a’(x) в окр. x=a

3. C(-R; C><0, C><1.

a'(x) и b(x)-ф-ции одного порядка при x->a

4. С=1; ф-ции a'(x) и b(x)-эквивалентны при x->a.

Эквивалентные бесконечно малые функции:

a’(x)-б.м.ф., при x->a;

sina’(x)~a’(x) tga’(x)~a’(x)

arcsina’(x)~a’(x) arctga’(x)~a’(x)

1-cosa’(x)~a’^2(x)/2

e^a’(x)-1~a’(x)

ln(1-a’(x))~a’(x)

(1+a’(x))^1/n-1~a’(x)/n

7. Непрерывность ф-ции

Ф-ция y=f(x), определенная на интервале (a,b), наз непрерыв в точке x0(-(a,b), если lim'x->x0'f(x)=f(x0). Т.е. предел ф-ции = ее значению при предельном знач аргумента.

Точки разрыва функции: Рассмотрим ф-цию y=f(x), определенную на интервале (a,b), кроме,точки х0(-(a,b). Знач аргумента х0 наз точкой разрыва данной ф-ии,если при х=х0ф-ция определена, но не является непрер или не опред при эт знач х. Если х0-точка разрыва f(x) и существуют конечные пределы f(x0-0)=lim'x->x0-0'f(x), f(x0+0)=lim'x->x0+0'f(x), f(x0-0)><f(x0+0), то она наз точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0), f(x0+0) не сущ или явл бесконечн, то х0 наз точкой разрыва второго рода.

8. Осн теор о непрер ф-циях:

1) Если ф-ции f(x) и ф(x) непрер в точке x0, то также непрер в этой точке их сумма f(x)+ф(х), разность f(x)-ф(х), произв f(x)*ф(х), а также частное f(x)/ф(х) при условии, что ф(х)><0.

2) Если ф-ция ф(х) непрер в точке х0,а ф(х) непрер в точке х0, а ф-ция f(y)nнепрер в точке y0=ф(х0), то сложн ф-ция F(x)=f[ф(х)] непрер в точке х0.

3) Ф-ция, непрерывная на отрезке [a,b], достигает в нем своего наим знач m и наиб знач M, т.е. сущ такие точки х1 и х2 этого отрезка, что f(x1)=m, f(x2)=M.

4) Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает неравные значения f(a)=A, f(b)=B, A><B, то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка с(-[a,b] такая, что f(c)=C.

9. Производн функц y=f(x) в точке х0 наз предел отношен приращения эт функц к приращ аргумента, когда последнее стрем к 0.

Геом смысл произв:произв y=f(x) в точке x=x_о=tg угла кот образ касат графику ф-ции y=f(x) в точке f(x_o) и x_o с полож направл оси ОХ

Физ смысл:произв от координаты по времени есть мгновенная скорость

Экономич смысл: произв выступ как интенс-ть изм некоторого экономич объекта(проц) по времени или относит др исследуем фактора.

10. Правила дифференцирован:

Ф-ия y=f(х)наз дифференцируем в точке х=х0,если ее приращение в точке х0 можно представить в след виде: ^y=A*^x+0(^x). Для того, чтобы y=f(x) была дифференцир в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

(u+-v)'=u'+-v’ (uv)’=u’v+uv’

(u/v)’=(u’v-uv’)/v^2; (f(u))’=f’(u)*u’

(c*u)’=сu’; (с)'=0

Табл. произв осн элемент ф-ций:

(x^aльфа)'=aльфа*x^(альфа-1)

(e^x)’=e^x (a^x)’=a^x*lna

(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx

(tgx)’=1/(cosx)^2

(ctgx)’=-1/(sinx)^2

(arcsinx)’=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)’=-1/(1-x^2)^1/2

(arctgx)’=1/(1+x^2)

(arcctgx)’=-1/(1+x^2)

(lnx)’=1/x

(log|a|x)’=1/x*lna.

11. Производная сложн ф-ции: Если y=f(u) и u=ф(x) – дифференцируем ф-ции своих аргументов, то производная сложн ф-ции y=f(ф(x)) сущ и равна произвед производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производн промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е. y’|x|=y’|u|*u’|x|, dy/dx=dy/dy*du/dx.

Производная обратной функции: Если y=f(x) и x=ф(y) – взаимно обратн дифференцируем ф-ции и y’|x|><0, то x’|y|=1/y’|x|.

Произв неявно заданной ф-ции: Если дифференцируем ф-ция y=y(x) задана уравнением F(x,y)=0, то производная y'=y'(x) этой неявн ф-ции может быть найдена из уравн F'|x|=0, где F=F(x,y) рассматривается как сложн ф-ция переменной x.

12. Логарифм дифференц-ние:

y=f(x)

lny=lnf(x)

1/y*y’=(lnf(x))’

y’=y*(lnf(x))’

y’=f(x)*(lnf(x))’

Прим в эконом: y=f(x)

y’/y - мгновен темп роста ф-ции

E|x|y=f'(x)*x/y – эластичность ф-ции y=f(x) в точке х

|E|x|y>1|- ф-ия эластичн в точке х

|E|x|y<1|- ф-ия неэласт в точке х

|E|x|y=1|-ф-ия нейтральн вточке х

13. Производн высш порядков:

Производн втор порядка,или второй производной,ф-ции y=f(x) наз произв от ее произв y’=f’(x). f''(x)=(f'(x))' ( d^2)*y/d*x^2=dy'/dx.

14. Дифференциал ф-ции. Рассмотрим ф-цию y=f(x), определ в некот промежутке (a,b), и ее приращ ^y=f(x0+^x)-f(x0) в точке х0, где х0, (x0+^x) (- (a,b). Если приращ ф-ции представимо в виде ^y=A^x+o(^x), где А-постоянная, о(^х)- беск. малая высш порядка по сравн с ^x, то слаг А^x наз дифференциалом ф-ции f(x) в точке х0 и обознач dy или df(x0):dy=A^x;ф-цию y=f(x) в эт случае наз дифференцируемой в точке х0.

Геометр смысл дифференциала. Дифференц ф-ции = приращ ординаты касательной к графику ф-ции в соответствующей точке, когда аргумент получ приращ ^x.

Отметим, что dy<^y или dy>^y; если ф-ция = постоянной, то dy=^y=0.

Свойства:

d(c)=0

d(cu)=cdu

d(u+-v)=du+dv

d(uv)=vdu+udv

d(u/v)=(vdu-udv)/v^2; v><0

15. Осн теорем о диффер ф--иях

Теорема Роля: Пусть ф-ция y=f(x), непрер на отрезке x(- [a,b] и дифференцируема во всех точках интервала (a,b), пусть далее f(a)=f(b), тогда найдется такая точка e (- (a,b), что f'(e)=0.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке х (- [a,b] и дифференцирована в кажд точке интервала [a,b], тогда найдется такая точка e из интервала e (- [a,b], что будет выполн равенство: f(b)-f(a)=f'(e)(b-a).

Правило Бернулли-Лопиталя: Если ф-ции f(x) и ф(х) дифференцируемы в окрестности точки х=а, обращаются в 0 в этой точке и сущ предел отношения f'(x)/ф'(x) при х->a, тогда сущ предел отношения самих ф-ций, равный пределу отношения производной lim'x-> a'(f(x)/ф(х))=lim'x>a'(f'(x)/ф’(x)).

16. Условия возр и убыв ф-ций Необход и достаточн условие постоянства ф-ции y=f(x) выражается равенством y'=0, т.е. y’=0y=c.

Ф-ция y=f(x) наз возраст в промежутке (a,b), если для люб двух знач х1 и х2 (- (a,b) из неравенства х1<х2 след неравенство f(x1)<f(x2).

Ф-ция y=f(x) наз убывающ в некотор промежутке, если для люб двух знач, принадлежащих этому промежутку, из неравенства x1<x2 след неравенство f(x1)>f(x2).

Достаточн условие возраст(убыв) ф-ции: Если в данном промежутке произв ф-ции положительн, то ф-ция возраст в этом промеж; если произв отриц, то ф-ция убыв в соответств пром.

Необход усл экстремума: Если для ф-ции y=f(x) точка х=х0 явл точкой локальн экстремума, то произв от ф-ции у=f(x) в точке х0 либо = 0, либо не сущ.

17. Выпукл вниз график ф-ции y=f(x) наз на интервале [a,b], если любая секущ этого графика на данном интервале будет лежать выше графика ф-ции.

Гр-к ф-ции f(x) будет выпуклым вверх, если секущая на интервале лежит ниже графика ф-ции.

y=f(x), x (- (a,b)

f’’(x)>0(гр-к выпукл вниз, и наоборот).

Точки гр-ка ф-ции, в кот направл выпуклости мен на противоположн наз точками перегиба гр-ка ф-ции.

посм18. Асимптотой линии наз прямая, к кот неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неогранич удал от начала координат.

Выдел 2 осн типа асимптот: вертикальн ( ||Oy; x=a) и наклонная ( ||Ox; x=a).

х=а – вертик асимпт гр-ка ф-ции y=f(x), если хотя бы 1 из односторонних пределов lim’x->a-0’f(x)=беск. lim’x->a+0’f(x)=беск.

Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой гр-ка ф-ции y=f(x), если сущ и конечны след пределы k=lim'x->+-беск.’f(x)/x.

19. Общая схема исследования ф-ции и построения их гр-ков:

1) Для исслед ф-ции и построения ее графика требуется найти обл опред, обл знач ф-ции, точки пересеч гр. ф-ции с осями координат; установ четкость или нечеткость, периодичность или непериодичность ф-ции.

2) Найти асимптоты гр-ка ф-ции

3) Уст промежутки возр и убыв ф-ции, а также точки экстремума

4) Найти промежутки выпуклости вверх и вниз гр-ка ф-ции, а также точки перегиба

5) Постр гр-к ф-ции

20. Наиб и наим знач ф-ции на отрезке: рассмотрим f(x) и предположим, что эта ф-ция имеет на отрезке [a,b] конечное число критич точек. Если ф-ция y=f(x) непрерывающ на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наиб и наим знач. Найдутся такие точки e1 и e2 из отрезка [a;b], такие, что f(e1)=m<=f(x), x (- [a,b] и f(e2)=M>=f(x); x (- [a,b]. M и m-глобальные экстремумы ф-ции f(x) на [a;b].

21. Матрицей наз система m*n чисел, располож в прямоугольн таблице из m строк и n столбцов. Числа эт табл наз эл-тами матр.

Матр А наз нулевой матрицей размерности m*n,если все ее эл-ты = 0.

Диагональн матр, у кот на главн диаг расп 1, наз единичн матр, порядка n.

Операции надматрицами:Суммой двух матр явл матр,эл-ты кот равны суммам соотв эл-тов матр слагаемых, сумма А и В обозн. А+В.

Произвед матр A на число а’ наз матр, полученная из данной умнож всех ее эл-тов на число а' и обознач-ся Аа’ или a’A.

Матрицу (-1)А наз матрицей, противоположн матр А, и обознач ее –А.

Линейные действия над матр обладают след св-вами:

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C); 3) A+0=A; 4) A+(-A)=0; 5) 1*A=A;

6) a’(bA)=(a’b)A; 7)a’(A+B)=a’A+bA;

8) (a’+b)A=a’A+bA.

22. Определители и их свойства: Для люб квадр матр порядка n можно единствен образом вычислить число, кот наз определителем А.

detA=|A| Знак слагаемого:.

Свойства определителя:

1. опред не изм при замене всех его строк соответствующими столбцами;

2. при перестановке двух соседних строк (столбцов) опред меняет лишь знак;

3. опред с двумя одинак строками (столбцами) = нулю;

4. множитель, общ знак для эл-тов некот строки (столбца), можно вынести за знак опред;

5. опред = нулю, если все эл-ты некот строки (столбца) = нулю;

6. опред не изм, если к эл-там некот строки (столбца) прибав соотв эл-ты др строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;

7. опред = сумме произведений эл-тов любой строки (столбца) на их алгебраич дополнения.

23. Обратная матрица: матрицей, обратной квадратной матр А, наз квадр матр А”-1”, удовлетворяющая равенствам: АА”-1”=A”-1”A=E,где Е-единичн матрица. Квадратная матрица наз невырожденной или неособенной, если ее опред отличен от 0. Если опред матр = нулю, то она наз вырожденной или особенной. Всякая невырожденная квадр матр имеет единственную обратн матрицу.

Минором матрицы А порядка k наз число,равное опред, построен на пересеч произвольно выбранных k строк и столбцов матр А.Рангом матрицы наз наиб порядок отличного от 0 минора данной матрицы. Ранг матр не может превышать наим из размерности данной матр.Ранг матр не изм,если к какой-либо строке (столбцу)матрицы прибавить люб др строку (столбец) умноженное на люб число.

24. Сист линейных алгебраич уравнений наз множество уравн с n неизвестн (n>=2), для кот требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям сист. Сист лин уравн наз вырожденной, когда число уравн не совпад с числом неизвестн, либо когда определитель матрицы системы = 0.

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы сист уравнений 1 была совместна необход и достаточно, чтобы ранг матрицы сист был = рангу расшир матрицы системы.

25. Теор Кронекера-Капелли

для того, чтобы сист уравнений 1 была совместна необход и достаточно, чтобы ранг матрицы сист был = рангу расшир матрицы системы.

Метод Гаусса основан на следующих фактах:

1. Реш системы не изм, если мы переставим местами люб 2 ур-я системы.

2. Реш сист не изм, если люб ур-е сист умножить или раздел на нулевое число.

3. Реш сист не изм, если из k одинаковых ур-ний оставить одно, а остальн исключ из сист.

4. Реш сист не изм, если к какому-либо ур-ю сист прибавить люб др ур-е сист, умноженное на люб число.

Метод Гаусса сост в следующем:

1. Среди ур-ний сист находим то ур-е, в кот коэффиц при х не = 0, и ставим его на первое место;

2. Делим на первый коэффиц при х, 1-ое ур-ние системы;

3. С помощью первого ур-я сист исключ неизвестн х из оставшихся ур-ний сист;

4. Исключ из рассмотрения 1-ое ур-е системы и проводим шаги 1-3 для оставшихся ур-ий системы.

В конце концов мы приводим сист ур-ий к так называемому трапецеидальному виду. Из последн ур-я находится хn, из предпоследнего хn-1 и т.д., пока не дойдем до неизвестного х1.

Вопрос 26. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы. Правила Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений
,в которой, .

Пусть - определитель основной матрицы системы, а - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-ого столбца соответственно на столбец свободных членов:

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамеракак

Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

27. Однородн сист лин уравн так наз, если свободн член в кажд уравнен = нулю. Однородн сист имеет вид

Всякая однородн сист всегда совместна, так как всегда имеет нулевое (тривиальное) реш х₁=0, х₂=0, х_n=0. Для сущ нетривиальн реш необход и достаточн, чтобы ранг матрицы сист был меньше числа неизвестных (rang A < n).

28. Векторное пространство: Рассмотрим некотор множество V, сост из эл-тов ->v(- V, кот облад след св-вом: 1)для люб эл-та из множества ->v (- Vn для люб действит числа a' (- R, a'->v (- R. 2) Для люб эл-тов ->V1, ->V2(- V,сумма эл-тов ->V1+->V2 также (- V.

Множество V, для кот выполн свойства 1 и 2, наз векторным пространством, а его эл-ты наз векторными.

Векторы V1, V2…Vn из пространства V образ базис пространства, если выполн св-ва: 1) вектора V1, V2…Vn линейно независимы; 2) для люб вектора Vn+1*V векторы V1, V2…Vn, Vn+1 линейно зависимы.

Число векторов в базисе наз размерностью векторн пространства.

2 вектора образ базис на плоскости только когда определитель, составленный из координат этих векторов не = 0.

29. Прямая линия на плоскости:

Ax+By+C=0(1)

Ур-ие 1-ой степени относительно x и y наз общим ур-ием прямой на плоскости. (A^2+B^2><0).

Рассмотрим некот частные случаи ур-ия (1):

1. С=0, Ax+By=0 – ур-ие прямой, проходящее через нач координат;

2. А=0 (В><0), By+C=0 либо у=-С/В – прямая || оси Ox;

3. В=0 (А><0), Ax+C=0 либо х=-С/А – прямая || оси Оу;

4. А=0 и С=0 (B><0), By=0, y=0 – уравнение оси Ох;

5. В=0 и С=0, х=0 – ур-е оси Оу.

Вопрос 30. Прямая и плоскость в пространстве.

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

=;

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Система  равносильна системе x = x₁,y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

31. Кривая второго порядка – линия на плоскости, ур-ие кот имеет след вид (в декартовой прямоуг сист координат): Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 (A^2+B^2+C^2><0 – чтобы это была кривая второго порядка).

Окружность-множество точек в плоскости равноудал от фикс точки плоск(центра окр) R^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2

Эллипс-геометр место точек,для кот сумма расстояний до двух фиксирован точек плоскости, есть пост величина, большая, чем расст между ними

32. Кривая второго порядка – линия на плоскости, ур-ие кот имеет след вид (в декартовой прямоуг сист координат): Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

(A^2+B^2+C^2><0 – чтобы это была кривая второго порядка).

Гипербола- геометр место точек, для кот разность расст до двух фиксир точек плоскости, есть пост величина;эта разность берется по абсолютн знач и обознач через 2а

Парабола- геом место точек, для кажд из кот расст до некот фикс точки плоскости ,= расст до некот фикс прямой, наз директрисой. расст до директрисы обознач - буквой р. Число р наз параметром параболы. y^2=2px

33.Ф-ция неск переменных Если кажд паре (x,y) значений двух независ переменных из области  ставится опреденное знач z,то говорят,что z есть ф-ция двух переменных(x,y).Множество G всех пар значений аргументов данной ф-ции двух переменных наз областью опред эт ф-ции.Линией уровня ф-ции двух переменных z=f(x,y) наз линия на плоскости x0y в кажд точке кот ф-ция сохр пост знач

34. Частной производной ф-ции неск переменных( по одной из них в фиксир точке)наз предел отношения соответствующего частного приращ эт ф-ции к приращ данной переменной, когда последнее стремится к нулю. Частн эластичность производственной ф-ции = отнош предельн продукта данного ресурса к его средн продукту

Вопрос 35. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Частной производной поот функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:.Частной производной по y от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
.
Пусть задана функция . Если аргументу x сообщить приращение , а аргументу y – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .
Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
,
где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.
Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается dz: , где dx и dy – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных их четыре:

Вопрос 36. Производные высших порядков функции нескольких переменных.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

= , = .

= , =

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка.

Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2ⁿ штук.

Частная производная порядка рфункции имеет вид, где.

Теорема. Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны..

37..Производн по направл. Градиент.

Производн по направл — это обобщение понятия производной на случай ф-ции нескольких переменных. Производная по направл показывает, насколько быстро ф-ция изм при движении вдоль заданного направл.

Градиент — вектор, показывающ направл наискорейшего возрастания некотор величины , знач кот меняется от одной точки пространства к др

Функции нескольких переменных: Пусть задано множество D упорядоч пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, кот кажд паре чисел (х; у) є D сопоставл только одно число z є R, наз ф-цией двух переменных, определ на множестве D со знач в Е, и запис в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у наз независ переменными (аргументами), а z — завис переменной (функцией). Множество D = D(f) наз обл опред ф-ции. Множество знач, принимаемых z в обл опред, наз обл изм эт ф-ции,обознач E(f) или Е

38.Экстремум функции двух переменных.

Понятие макс,миним,экстремума ф-ции двух переменных аналогичны сответств понятиям ф-ции одной независ переменной.Пусть ф-ция z = ƒ(х;у)опред в некот области D,точка N(x0;y0) Î D.Точка(х0;у0) наз точкой макс ф-ции z=ƒ(х;у),если суще такая d-окрестность точки (х0;у0),что для кажд точки (х;у),отличной от (хо;уо),из эт окрестности выполн неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо) Аналогично опред точка миним ф-ции:для всех точек:(х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполн неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0). Знач ф-ции в точке макс(мин) наз макс (мин)функции. Макс и мин ф-ции наз ее экстремумами.

Точка экстремума ф-ции лежит внутри обл опред ф-ции; макс и мин имеют локальный (местный)характер: значение ф-ции в точке (х0;у0) сравнивается с ее знач в точках, достаточно близких к (х0; у0). В обл D ф-ция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. Необход усл экстремума:Ф-ция g(x) в точке имеет экстремум(макс или мин),если ф-ция опред в двухсторонней окрестности точкии для всех точек x некот обл: , выполнено соответственно неравенство(в случае макс) или (в случае мин).Экстремум ф-ции наход из условия:, если произв сущ, т.е. приравн первую производн ф-ции к 0.