Файл: shpora_po_matem.docx

1. Функции одной переменной-правило,по кот каждому знач независ переменной х(из области опред) соотв одно и только одно знач функции у

Элементарные функции – ф-ция, кот получ из осн элементарных ф-ций, путем применения к ним конечного числа осн арифметич действий (+;-;*;/) и путем операции композиции.

2. Предел функц в точке: Пост b наз пределом функц y=f(x) при x->a (или в точке a), если для люб числа e>0 сущ такое число z>0, что при всех x, удовлетвор условию: 0<|x-a|<z, выполняется неравенство: |f(x)-b|<z.

Пред. функц при x-> а, обознач: lim’x->a’f(x)=b; f(x)->b при x->a.

3.Ф-ция a’=a’(x) наз бескон мал при x->a(или x->беск.),если ее предел= 0: lim’x->a’a'(x)=0 (lim’x->беск.’a’(x)=0). Ф-ция y=f(x)наз бескон больш при x->a, если для люб положит числа N можно найти такое число z>0, что при всех значениях x, удовлетвор условию 0<|x-a|<z, выполн неравенство |f(x)|>N. Бескон больш ф-ция не имеет предела при x->a, но иногда условно говорят, что ее предел = бесконеч-ти,и пишут:lim'x-> a'f(x)=беск., или f(x)->беск., при x->a.

4. Осн теоремы о пределах: 1) Ф-ция y=y(x) не может иметь более одного предела при x->a.

2) Пусть ф-ция y=f(x) определена в некотором промежутке, содержащ точку а.Если при x->a ф-ция y=f(x) имеет положит (отрицат) предел, то найдется z-окрестность точки а такая, что для всех x(-O(a,z) ф-ция положит (отрицат).

3) Если ф-ции u(x), v(x) определ в некоторой z-окрестности точки а, для всех x(-O(a,z), x><a выполн неравенство u(x)<v(x) и ф-ции имеют пределы при x->a, то lim'x->a'u(x)<=lim’x->a’v(x).

4) Пусть три ф-ции u=u(x),y=y(x), v=v(x)опред в некот промежутке, содержащ точку а. Если для люб x из этого промежутка выполняются неравенства u(x)<=y(x)<=v(x) и ф-ции u=u(x), v=v(x) имеют одинак пределы при x->a, то y=y(x) имеет тот же предел при x->a.

5. Перв замечательный предел: lim’x->0’sinx/x=1.

Второй замечательный предел: lim'x->0'(1+x)^1/x=e. где е = 2,71828

6. Сравн бесконечн мал ф-ций:

a’(x)-беск. малая функция x=a

b(x)-беск. малая ф-ция x=a

lim’x->a’a’(x)/b(x)=C(-R

1. C=0 при этом a’(x)-беск. м. ф-ция более высокого порядка, чем b(x) в окр. x=a

2. C=беск., b(x)-б.м. более высокого порядка, чем a’(x) в окр. x=a

3. C(-R; C><0, C><1.

a'(x) и b(x)-ф-ции одного порядка при x->a

4. С=1; ф-ции a'(x) и b(x)-эквивалентны при x->a.

Эквивалентные бесконечно малые функции:

a’(x)-б.м.ф., при x->a;

sina’(x)~a’(x) tga’(x)~a’(x)

arcsina’(x)~a’(x) arctga’(x)~a’(x)

1-cosa’(x)~a’^2(x)/2

e^a’(x)-1~a’(x)

ln(1-a’(x))~a’(x)

(1+a’(x))^1/n-1~a’(x)/n

7. Непрерывность ф-ции

Ф-ция y=f(x), определенная на интервале (a,b), наз непрерыв в точке x0(-(a,b), если lim'x->x0'f(x)=f(x0). Т.е. предел ф-ции = ее значению при предельном знач аргумента.

Точки разрыва функции: Рассмотрим ф-цию y=f(x), определенную на интервале (a,b), кроме,точки х0(-(a,b). Знач аргумента х0 наз точкой разрыва данной ф-ии,если при х=х0ф-ция определена, но не является непрер или не опред при эт знач х. Если х0-точка разрыва f(x) и существуют конечные пределы f(x0-0)=lim'x->x0-0'f(x), f(x0+0)=lim'x->x0+0'f(x), f(x0-0)><f(x0+0), то она наз точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0), f(x0+0) не сущ или явл бесконечн, то х0 наз точкой разрыва второго рода.

8. Осн теор о непрер ф-циях:

1) Если ф-ции f(x) и ф(x) непрер в точке x0, то также непрер в этой точке их сумма f(x)+ф(х), разность f(x)-ф(х), произв f(x)*ф(х), а также частное f(x)/ф(х) при условии, что ф(х)><0.

2) Если ф-ция ф(х) непрер в точке х0,а ф(х) непрер в точке х0, а ф-ция f(y)nнепрер в точке y0=ф(х0), то сложн ф-ция F(x)=f[ф(х)] непрер в точке х0.

3) Ф-ция, непрерывная на отрезке [a,b], достигает в нем своего наим знач m и наиб знач M, т.е. сущ такие точки х1 и х2 этого отрезка, что f(x1)=m, f(x2)=M.

4) Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает неравные значения f(a)=A, f(b)=B, A><B, то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка с(-[a,b] такая, что f(c)=C.

9. Производн функц y=f(x) в точке х0 наз предел отношен приращения эт функц к приращ аргумента, когда последнее стрем к 0.

Геом смысл произв:произв y=f(x) в точке x=x_о=tg угла кот образ касат графику ф-ции y=f(x) в точке f(x_o) и x_o с полож направл оси ОХ

Физ смысл:произв от координаты по времени есть мгновенная скорость

Экономич смысл: произв выступ как интенс-ть изм некоторого экономич объекта(проц) по времени или относит др исследуем фактора.

10. Правила дифференцирован:

Ф-ия y=f(х)наз дифференцируем в точке х=х0,если ее приращение в точке х0 можно представить в след виде: ^y=A*^x+0(^x). Для того, чтобы y=f(x) была дифференцир в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

(u+-v)'=u'+-v’ (uv)’=u’v+uv’

(u/v)’=(u’v-uv’)/v^2; (f(u))’=f’(u)*u’

(c*u)’=сu’; (с)'=0

Табл. произв осн элемент ф-ций:

(x^aльфа)'=aльфа*x^(альфа-1)

(e^x)’=e^x (a^x)’=a^x*lna

(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx

(tgx)’=1/(cosx)^2

(ctgx)’=-1/(sinx)^2

(arcsinx)’=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)’=-1/(1-x^2)^1/2

(arctgx)’=1/(1+x^2)

(arcctgx)’=-1/(1+x^2)

(lnx)’=1/x

(log|a|x)’=1/x*lna.

11. Производная сложн ф-ции: Если y=f(u) и u=ф(x) – дифференцируем ф-ции своих аргументов, то производная сложн ф-ции y=f(ф(x)) сущ и равна произвед производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производн промежуточного аргумента по независимой переменной, т.е. y’|x|=y’|u|*u’|x|, dy/dx=dy/dy*du/dx.

Производная обратной функции: Если y=f(x) и x=ф(y) – взаимно обратн дифференцируем ф-ции и y’|x|><0, то x’|y|=1/y’|x|.

Произв неявно заданной ф-ции: Если дифференцируем ф-ция y=y(x) задана уравнением F(x,y)=0, то производная y'=y'(x) этой неявн ф-ции может быть найдена из уравн F'|x|=0, где F=F(x,y) рассматривается как сложн ф-ция переменной x.

12. Логарифм дифференц-ние:

y=f(x)

lny=lnf(x)

1/y*y’=(lnf(x))’

y’=y*(lnf(x))’

y’=f(x)*(lnf(x))’

Прим в эконом: y=f(x)

y’/y - мгновен темп роста ф-ции

E|x|y=f'(x)*x/y – эластичность ф-ции y=f(x) в точке х

|E|x|y>1|- ф-ия эластичн в точке х

|E|x|y<1|- ф-ия неэласт в точке х

|E|x|y=1|-ф-ия нейтральн вточке х

13. Производн высш порядков:

Производн втор порядка,или второй производной,ф-ции y=f(x) наз произв от ее произв y’=f’(x). f''(x)=(f'(x))' ( d^2)*y/d*x^2=dy'/dx.

14. Дифференциал ф-ции. Рассмотрим ф-цию y=f(x), определ в некот промежутке (a,b), и ее приращ ^y=f(x0+^x)-f(x0) в точке х0, где х0, (x0+^x) (- (a,b). Если приращ ф-ции представимо в виде ^y=A^x+o(^x), где А-постоянная, о(^х)- беск. малая высш порядка по сравн с ^x, то слаг А^x наз дифференциалом ф-ции f(x) в точке х0 и обознач dy или df(x0):dy=A^x;ф-цию y=f(x) в эт случае наз дифференцируемой в точке х0.

Геометр смысл дифференциала. Дифференц ф-ции = приращ ординаты касательной к графику ф-ции в соответствующей точке, когда аргумент получ приращ ^x.

.

.

.

.

Отметим, что dy<^y или dy>^y; если ф-ция = постоянной, то dy=^y=0.

Свойства:

d(c)=0

d(cu)=cdu

d(u+-v)=du+dv

d(uv)=vdu+udv

d(u/v)=(vdu-udv)/v^2; v><0

15. Осн теорем о диффер ф--иях

Теорема Роля: Пусть ф-ция y=f(x), непрер на отрезке x(- [a,b] и дифференцируема во всех точках интервала (a,b), пусть далее f(a)=f(b), тогда найдется такая точка e (- (a,b), что f'(e)=0.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке х (- [a,b] и дифференцирована в кажд точке интервала [a,b], тогда найдется такая точка e из интервала e (- [a,b], что будет выполн равенство: f(b)-f(a)=f'(e)(b-a).

Правило Бернулли-Лопиталя: Если ф-ции f(x) и ф(х) дифференцируемы в окрестности точки х=а, обращаются в 0 в этой точке и сущ предел отношения f'(x)/ф'(x) при х->a, тогда сущ предел отношения самих ф-ций, равный пределу отношения производной lim'x-> a'(f(x)/ф(х))=lim'x>a'(f'(x)/ф’(x)).

16. Условия возр и убыв ф-ций Необход и достаточн условие постоянства ф-ции y=f(x) выражается равенством y'=0, т.е. y’=0y=c.

Ф-ция y=f(x) наз возраст в промежутке (a,b), если для люб двух знач х1 и х2 (- (a,b) из неравенства х1<х2 след неравенство f(x1)<f(x2).

Ф-ция y=f(x) наз убывающ в некотор промежутке, если для люб двух знач, принадлежащих этому промежутку, из неравенства x1<x2 след неравенство f(x1)>f(x2).

Достаточн условие возраст(убыв) ф-ции: Если в данном промежутке произв ф-ции положительн, то ф-ция возраст в этом промеж; если произв отриц, то ф-ция убыв в соответств пром.

Необход усл экстремума: Если для ф-ции y=f(x) точка х=х0 явл точкой локальн экстремума, то произв от ф-ции у=f(x) в точке х0 либо = 0, либо не сущ.

17. Выпукл вниз график ф-ции y=f(x) наз на интервале [a,b], если любая секущ этого графика на данном интервале будет лежать выше графика ф-ции.

Гр-к ф-ции f(x) будет выпуклым вверх, если секущая на интервале лежит ниже графика ф-ции.

y=f(x), x (- (a,b)

f’’(x)>0(гр-к выпукл вниз, и наоборот).

Точки гр-ка ф-ции, в кот направл выпуклости мен на противоположн наз точками перегиба гр-ка ф-ции.

посм18. Асимптотой линии наз прямая, к кот неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неогранич удал от начала координат.

Выдел 2 осн типа асимптот: вертикальн ( ||Oy; x=a) и наклонная ( ||Ox; x=a).

х=а – вертик асимпт гр-ка ф-ции y=f(x), если хотя бы 1 из односторонних пределов lim’x->a-0’f(x)=беск. lim’x->a+0’f(x)=беск.

Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой гр-ка ф-ции y=f(x), если сущ и конечны след пределы k=lim'x->+-беск.’f(x)/x.

19. Общая схема исследования ф-ции и построения их гр-ков:

1) Для исслед ф-ции и построения ее графика требуется найти обл опред, обл знач ф-ции, точки пересеч гр. ф-ции с осями координат; установ четкость или нечеткость, периодичность или непериодичность ф-ции.

2) Найти асимптоты гр-ка ф-ции

3) Уст промежутки возр и убыв ф-ции, а также точки экстремума

4) Найти промежутки выпуклости вверх и вниз гр-ка ф-ции, а также точки перегиба

5) Постр гр-к ф-ции

20. Наиб и наим знач ф-ции на отрезке: рассмотрим f(x) и предположим, что эта ф-ция имеет на отрезке [a,b] конечное число критич точек. Если ф-ция y=f(x) непрерывающ на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наиб и наим знач. Найдутся такие точки e1 и e2 из отрезка [a;b], такие, что f(e1)=m<=f(x), x (- [a,b] и f(e2)=M>=f(x); x (- [a,b]. M и m-глобальные экстремумы ф-ции f(x) на [a;b].

21. Матрицей наз система m*n чисел, располож в прямоугольн таблице из m строк и n столбцов. Числа эт табл наз эл-тами матр.

Матр А наз нулевой матрицей размерности m*n,если все ее эл-ты = 0.

Диагональн матр, у кот на главн диаг расп 1, наз единичн матр, порядка n.

Операции надматрицами:Суммой двух матр явл матр,эл-ты кот равны суммам соотв эл-тов матр слагаемых, сумма А и В обозн. А+В.

Произвед матр A на число а’ наз матр, полученная из данной умнож всех ее эл-тов на число а' и обознач-ся Аа’ или a’A.

Матрицу (-1)А наз матрицей, противоположн матр А, и обознач ее –А.

Линейные действия над матр обладают след св-вами:

1) A+B=B+A;

2) (A+B)+C=A+(B+C); 3) A+0=A; 4) A+(-A)=0; 5) 1*A=A;

6) a’(bA)=(a’b)A; 7)a’(A+B)=a’A+bA;

8) (a’+b)A=a’A+bA.

22. Определители и их свойства: Для люб квадр матр порядка n можно единствен образом вычислить число, кот наз определителем А.

detA=|A| Знак слагаемого:

.

.

.

.

.

Свойства определителя:

1. опред не изм при замене всех его строк соответствующими столбцами;

2. при перестановке двух соседних строк (столбцов) опред меняет лишь знак;

3. опред с двумя одинак строками (столбцами) = нулю;

4. множитель, общ знак для эл-тов некот строки (столбца), можно вынести за знак опред;

5. опред = нулю, если все эл-ты некот строки (столбца) = нулю;

6. опред не изм, если к эл-там некот строки (столбца) прибав соотв эл-ты др строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;

7. опред = сумме произведений эл-тов любой строки (столбца) на их алгебраич дополнения.

23. Обратная матрица: матрицей, обратной квадратной матр А, наз квадр матр А”-1”, удовлетворяющая равенствам: АА”-1”=A”-1”A=E,где Е-единичн матрица.

Квадратная матрица наз невырожденной или неособенной, если ее опред отличен от 0. Если опред матр = нулю, то она наз вырожденной или особенной. Всякая невырожденная квадр матр имеет единственную обратн матрицу.

Минором матрицы А порядка k наз число,равное опред, построен на пересеч произвольно выбранных k строк и столбцов матр А.Рангом матрицы наз наиб порядок отличного от 0 минора данной матрицы. Ранг матр не может превышать наим из размерности данной матр.Ранг матр не изм,если к какой-либо строке (столбцу)матрицы прибавить люб др строку (столбец) умноженное на люб число.

24. Сист линейных алгебраич уравнений наз множество уравн с n неизвестн (n>=2), для кот требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям сист. Сист лин уравн наз вырожденной, когда число уравн не совпад с числом неизвестн, либо когда определитель матрицы системы = 0.

Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы сист уравнений 1 была совместна необход и достаточно, чтобы ранг матрицы сист был = рангу расшир матрицы системы.

25. Теор Кронекера-Капелли

для того, чтобы сист уравнений 1 была совместна необход и достаточно, чтобы ранг матрицы сист был = рангу расшир матрицы системы.

Метод Гаусса основан на следующих фактах:

1. Реш системы не изм, если мы переставим местами люб 2 ур-я системы.

2. Реш сист не изм, если люб ур-е сист умножить или раздел на нулевое число.

3. Реш сист не изм, если из k одинаковых ур-ний оставить одно, а остальн исключ из сист.

4. Реш сист не изм, если к какому-либо ур-ю сист прибавить люб др ур-е сист, умноженное на люб число.

Метод Гаусса сост в следующем:

1. Среди ур-ний сист находим то ур-е, в кот коэффиц при х не = 0, и ставим его на первое место;

2. Делим на первый коэффиц при х, 1-ое ур-ние системы;

3. С помощью первого ур-я сист исключ неизвестн х из оставшихся ур-ний сист;

4. Исключ из рассмотрения 1-ое ур-е системы и проводим шаги 1-3 для оставшихся ур-ий системы.

В конце концов мы приводим сист ур-ий к так называемому трапецеидальному виду. Из последн ур-я находится хn, из предпоследнего хn-1 и т.д., пока не дойдем до неизвестного х1.

26. Теорема Крамера: Невырожденная линейная сист имеет единственн реш х1=^1/^, x2=^2/^,…, xn=^n/^.

27. Однородн сист лин уравн так наз, если свободн член в кажд уравнен = нулю. Однородн сист имеет вид

Всякая однородн сист всегда совместна, так как всегда имеет нулевое (тривиальное) реш х₁=0, х₂=0, х_n=0. Для сущ нетривиальн реш необход и достаточн, чтобы ранг матрицы сист был меньше числа неизвестных (rang A < n).

28. Векторное пространство: Рассмотрим некотор множество V, сост из эл-тов ->v(- V, кот облад след св-вом: 1)для люб эл-та из множества ->v (- Vn для люб действит числа a' (- R, a'->v (- R. 2) Для люб эл-тов ->V1, ->V2(- V,сумма эл-тов ->V1+->V2 также (- V.

Множество V, для кот выполн свойства 1 и 2, наз векторным пространством, а его эл-ты наз векторными.

Векторы V1, V2…Vn из пространства V образ базис пространства, если выполн св-ва: 1) вектора V1, V2…Vn линейно независимы; 2) для люб вектора Vn+1*V векторы V1, V2…Vn, Vn+1 линейно зависимы.

Число векторов в базисе наз размерностью векторн пространства.

2 вектора образ базис на плоскости только когда определитель, составленный из координат этих векторов не = 0.

29. Прямая линия на плоскости:

Ax+By+C=0(1)

Ур-ие 1-ой степени относительно x и y наз общим ур-ием прямой на плоскости. (A^2+B^2><0).

Рассмотрим некот частные случаи ур-ия (1):

1. С=0, Ax+By=0 – ур-ие прямой, проходящее через нач координат;

2. А=0 (В><0), By+C=0 либо у=-С/В – прямая || оси Ox;

3. В=0 (А><0), Ax+C=0 либо х=-С/А – прямая || оси Оу;

4. А=0 и С=0 (B><0), By=0, y=0 – уравнение оси Ох;

5. В=0 и С=0, х=0 – ур-е оси Оу.

31. Кривая второго порядка – линия на плоскости, ур-ие кот имеет след вид (в декартовой прямоуг сист координат): Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 (A^2+B^2+C^2><0 – чтобы это была кривая второго порядка).

Окружность-множество точек в плоскости равноудал от фикс точки плоск(центра окр) R^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2

Эллипс-геометр место точек,для кот сумма расстояний до двух фиксирован точек плоскости, есть пост величина, большая, чем расст между ними

32. Кривая второго порядка – линия на плоскости, ур-ие кот имеет след вид (в декартовой прямоуг сист координат): Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 (A^2+B^2+C^2><0 – чтобы это была кривая второго порядка).

Гипербола- геометр место точек, для кот разность расст до двух фиксир точек плоскости, есть пост величина;эта разность берется по абсолютн знач и обознач через 2а

Парабола- геом место точек, для кажд из кот расст до некот фикс точки плоскости ,= расст до некот фикс прямой, наз директрисой. расст до директрисы обознач - буквой р. Число р наз параметром параболы. y^2=2px

33.Ф-ция неск переменных Если кажд паре (x,y) значений двух независ переменных из области  ставится опреденное знач z,то говорят,что z есть ф-ция двух переменных(x,y).Множество G всех пар значений аргументов данной ф-ции двух переменных наз областью опред эт ф-ции.Линией уровня ф-ции двух переменных z=f(x,y) наз линия на плоскости x0y в кажд точке кот ф-ция сохр пост знач

34. Частной производной ф-ции неск переменных( по одной из них в фиксир точке)наз предел отношения соответствующего частного приращ эт ф-ции к приращ данной переменной, когда последнее стремится к нулю. Частн эластичность производственной ф-ции = отнош предельн продукта данного ресурса к его средн продукту

37..Производн по направл. Градиент.

Производн по направл — это обобщение понятия производной на случай ф-ции нескольких переменных. Производная по направл показывает, насколько быстро ф-ция изм при движении вдоль заданного направл.

Градиент — вектор, показывающ направл наискорейшего возрастания некотор величины , знач кот меняется от одной точки пространства к др

Функции нескольких переменных: Пусть задано множество D упорядоч пар чисел (х;у). Соответствие ƒ, кот кажд паре чисел (х; у) є D сопоставл только одно число z є R, наз ф-цией двух переменных, определ на множестве D со знач в Е, и запис в виде z = ƒ(х;у) или ƒ : D → R При этом х и у наз независ переменными (аргументами), а z — завис переменной (функцией). Множество D = D(f) наз обл опред ф-ции. Множество знач, принимаемых z в обл опред, наз обл изм эт ф-ции,обознач E(f) или Е

38.Экстремум функции двух переменных.

Понятие макс,миним,экстремума ф-ции двух переменных аналогичны сответств понятиям ф-ции одной независ переменной.Пусть ф-ция z = ƒ(х;у)опред в некот области D,точка N(x0;y0) Î D.Точка(х0;у0) наз точкой макс ф-ции z=ƒ(х;у),если суще такая d-окрестность точки (х0;у0),что для кажд точки (х;у),отличной от (хо;уо),из эт окрестности выполн неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо) Аналогично опред точка миним ф-ции:для всех точек:(х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполн неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0). Знач ф-ции в точке макс(мин) наз макс (мин)функции. Макс и мин ф-ции наз ее экстремумами.

Точка экстремума ф-ции лежит внутри обл опред ф-ции; макс и мин имеют локальный (местный)характер: значение ф-ции в точке (х0;у0) сравнивается с ее знач в точках, достаточно близких к (х0; у0). В обл D ф-ция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного. Необход усл экстремума:Ф-ция g(x) в точке имеет экстремум(макс или мин),если ф-ция опред в двухсторонней окрестности точкии для всех точек x некот обл: , выполнено соответственно неравенство(в случае макс) или (в случае мин).Экстремум ф-ции наход из условия:, если произв сущ, т.е. приравн первую производн ф-ции к 0.