Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание есть постоянное число, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т.е.

Из этого определения следует, что корреляционная функция стационарного процесса есть функция одного аргумента: Это обстоятельство часто упрощает операции над стационарными случайными процессами.

Случайный процесс называют стационарным в узком смысле, если его характеристики зависят не от значений аргументов, а лишь от их взаимного расположения. То есть, для функции распределения сечений процесса должно выполняться равенство:

при любых

Отметим, что из стационарности СП в узком смысле следует стационарность его в широком смысле, обратное утверждение неверно.

В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные случайные процессы в широком смысле. Далее приведем основные свойства корреляционной функции случайного стационарного процесса (с.с.п.).

1. Дисперсия с.с.п. постоянна и равна значению корреляционной функции в нуле, т.е. , то есть в начале координат .

2. Корреляционная функция с.с.п. является чётной функцией, т.е.

3. Абсолютное значение корреляционной функции с.с.п. не превосходит её значение при , т.е.

Нормированная корреляционна функция с.с.п. является неслучайная функция аргумента , т.е.

при этом в соответствии свойство 3 имеет место неравенство

Пример 6. Задана случайная функция, равномерно распределённая случайная величина, в интервале

Доказать, что случайная стационарная функция.

Решение. Найдём математическое ожидание

.

На основании определения м.о. получим (с учётом равномерной распределённости с.в. , по условию контроля )

и

Следовательно,

Найдём корреляционную функцию. Учитывая, что центрированная и случайная функция равны (т.к. ), т.е. , то согласно определению корреляционной функции (см.пункт 16.5) имеем

.

,

поскольку ).

Задание. Покажите, что в условиях нашего примера имеет место

Итак, математическое ожидание с.в. есть постоянное число при всех значениях аргумента, и её корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно, случайная стационарная функция.

Отметим что, положив в корреляционной функции, найдём дисперсию

Таким образом, дисперсия сохраняет постоянное значение при всех значениях аргумента, как и должно, быть при случайной стационарной функции.

Большинство случайных стационарных процессов обладают важным для практики, так называемым, «эргодическим свойством», сущность которого состоит в том, что по одной, достаточно длинной отдельной реализации данного процесса можно судить обо всех свойствах процесса также как по любому количеству реализаций.

Другими словами, отдельные характеристики с.с.п. могут быть определены как соответствующие средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности.

---

Связь между классами стационарных и случайных эргодических процессов можно охарактеризовать, например, как на рисунке 61.

Рис. 61 (Письм.).

Достаточным условием эргодического с.п. относительно математического ожидания и корреляционной функции является стремление к нулю его корреляционной функции при .

В качестве оценок характеристик эргодических с.с.п. принимают усреднённое по времени значение:

Интегралы, в правых частях равенств, на практике вычисляют приближённо.

Случайные процессы и называются стационарно связанными, если их взаимно корреляционная функция зависит только от разности . В качестве примера стационарного процесса можно взять с.п. – гармоническое колебание. Можно показать, что а

7. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов

При проектировании различных систем (систем автоматического управления или регулирования некоторыми процессами и т.д.) и других практических задач возникает следующая задача:

- на вход некоторой системы подаётся «входной сигнал» - с.п. с известными характеристиками; система преобразует этот сигнал, в результате чего на выходе системы получается случайный процесс , называемый «выходным сигналом»; требуется определить характеристики с.п. на выходе системы

(см. рис. 62).

Преобразование случайного процесса в случайную величину, осуществляемое системой (прибором) , обычно записывается в виде где - называют преобразованием или оператором системы . Оператор может иметь любой вид: оператор сложения или умножения, оператором дифференцирования или интегрирования и т.д. Так. например, если , и оператор есть оператор интегрирования

, то .

Все виды подобных преобразований (операторов) можно разделить на две различные группы: линейные и нелинейные . В свою очередь линейные преобразования линейные однородные и линейные неоднородные . Преобразование (оператор) называется линейным однородным, если оно (он) обладает двумя свойствами:

1. Оператор суммы функций (с.п.) равен сумме операторов от каждой функции, входящих в сумму, т.е.

2. Постоянную величину можно выносить за знак оператора:

Другими словами оператор удовлетворяет свойствам аддитивности и однородности.

Преобразование (оператор) называется линейным неоднородным, если оно состоит из суммы однородного линейного преобразования с прибавлением заданной неслучайной функции , то есть

Примерами однородных линейных операторов являются оператор дифференцирования , оператор интегрирования , оператор умножения на заданную функцию . Все преобразования, не являющиеся линейными, называются нелинейными. Примерами неоднородных линейных операторов являются:

Примерами нелинейных операторов являются: , и т.д.

---

8. Дифференцирование и интегрирование

случайных процессов (функций)

Пусть заданы характеристики и , некоторого случайного процесса и он подвергается действию дифференцирования, т.е. следует определить случайный процесс «выходного сигнала», где оператор дифференцирования. Имеем

.

Требуется определить характеристики и с.п.«выходного сигнала».

Теорема 16.2. Математическое ожидание производной от с.п. равно производной от её математического ожидания

(16)

Доказательство. Предполагая, что с.п. является непрерывным, производная от него существует, а математическое ожидание предела равенства

,

также существует. Приравниваем м.о. обеих частей равенства, а затем изменим, порядок нахождения м.о. и предела (законность изменения порядка этих операций примем без доказательства). С учётом сказанного приходим к равенству

т.е. . Теорема доказана.

Замечание 1. Последняя формула показывает, что для среднеквадратических дифференцируемых случайных функций операции нахождения м.о. и дифференцирования можно менять местами, т.е.

).

Пример 6. Пусть математическое ожидание .

Решение. Искомое математическое ожидание получим из формулы (16)

Замечание 2. Если первая производная дифференцируема, то производную от первой производной называют второй производной и обозначают, через Аналогично определяют производные более высоких порядков.

Задание. Найти в нашем примере и т.д. .

Можно показать, что корреляционная функция производной от случайной функции равна второй смешанной производной от её корреляционной функции

.

Пример 7. Пусть задана корреляционная функция с.п. . Найти корреляционную функцию его производной.

Решение. Найдём частные производные от корреляционной функции по аргументам и .

Отсюда следует, что искомая корреляционная функция равна

.

Перейдём к рассмотрению понятие интеграла от случайной функции.

Пусть заданы характеристики и , некоторого случайного процесса , а линейное преобразование случайного процесса состоит в том, что он подвергается действию интегрирования в отрезке , т.е. следует определить характеристики и , с.п. где «выходного сигнала», где оператор интегрирования. Положим

(17) .

Требуется найти характеристики с.п. Обычно (см. например, [Гмурманн]) определение интеграла от случайной функции даётся с помощью предельного соотношения, а именно:

Интегралом от случайной функции по отрезке [0,t] называют предельное значение среднеквадратического интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интервала максимальной длины, т.е.

Ниже приведём два утверждения, относящихся к характеристикам с.п. без доказательства.

Теорема 16.3. Математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от её математического ожидания, то есть справедливо равенство

---

(18) ,

и корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от её корреляционной функции, если (17), то

(19) .

Эти равенства доказываются стандартным путём на основании свойств м.о. и функции корреляции с.п. (см. [Гмурманн] гл.23).

Рассмотрим примеры на применении равенств (18) и (19).

Пример 8. Пусть м.о. и корреляционная функция , найти м.о. и корреляционную функцию с.п. определённую равенством (17).

Решение. Искомое м.о. Далее

Упражнение. Известны характеристики двух некоррелированных с.п. и , если

.

Найти математическое ожидание и корреляционную функцию с.п. .

9. Элементы спектральной теории стационарных

случайных процессов (функций)

В этом пункте кратко ознакомимся с новой характеристикой случайной функции, с понятием «спектральная плотность».

Из курса математического анализа известно, что неслучайную функцию , удовлетворяющую определённым условиям (условиям Дирихле) можно разложить в некотором промежутке в ряд Фурье. Важность теории рядов Фурье обусловлена той большой ролью, которую играют её приложения не только в математике, но и в механике, физике и ряде других научных дисциплин. Во многом это предопределено тем, что тригонометрические ряды Фурье соединяют в себе особенности, как тригонометрических рядов, так и общих рядов Фурье. С теорией рядов Фурье и интегралах Фурье можно ознакомиться, например, в учебнике [Архипов, … ].

Аналогичную теорию можно применять и в теории случайных функций (процессов), т.е. любой с.п. можно представить (разложить) в виде суммы так называемых «элементарных случайных процессов». А именно, в функциональный ряд вида

(20)

где случайные величины, неслучайные функции времени. Метод разложения СП в ряды вида (20) упрощает различные преобразования СП (линейных и нелинейных), в частности используя её можно найти характеристики «выходного процесса» стационарной линейной динамической системы по известным характеристикам «входного процесса». Вообще говоря, стационарную случайную функцию можно представить в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами. Рассмотрим два класса случайных функций:

А. Пусть случайная функция вида (локальный случай)

(21) ,

где действительное число, и некоррелированные случайные величины с математическим ожиданием, равными нулю и одинаковыми дисперсиями, или коротко:

Напомним, что в наших условиях с.п. , т.е. центрированный случайный процесс. Следовательно, такой случайный процесс является центрированным.

Покажем, что этот случайный процесс является стационарным.

Действительно, вычислим :

Вычислим корреляционную функцию. С учётом равенства:

,

и определения корреляционной функции имеем

---

Следовательно, мы доказали, что является стандартным случайным процессом.

Б. Рассмотрим теперь СП , являющейся суммой бесконечного числа слагаемых вида (21) (общий случай)

( 22) ,

где выполнены следующие условия:

(23)

при любых , постоянные числа.

Покажем, что случайный процесс , определённый равенством (22) с условиями (23) также является стационарным.

Действительно, с учетом свойства м.о. имеем

.

Следовательно, .

Поскольку слагаемые в равенстве (22) некоррелированные, то с учётом формулы для корреляционной функции с.п. (21) и свойства 6, пункта 16.5, т.е. с учётом равенства

получаем

(24) ,

Итак, с.п. (23) является стационарным случайным процессом.

Отметим, что равенство (24) можно рассматривать как разложение корреляционной функции на промежутке и ряд Фурье по косинусам: ,

где

,

(25)

Можно доказать, что для любой корреляционной функции стационарного случайного процесса .

Разложение (22) обычно называется каноническим или спектральным разложением стационарного случайного процесса. А разложение (24) для которого выполнены равенства (25) называется спектральным разложением корреляционной функции СП с равноотстоящими частотами.

Отметим, что спектральное разложение (22) с.с.п. можно представить в виде суммы гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами и частотами :

(26) ,

где

Кратко наметим схему получения представление (26) на основании равенства (22), где и выполнены условий:

Очевидно, . Обозначим и выполнив стандартные выкладки, получим где

Отсюда вытекает, что каждую случайную функцию в правой части (26) можно истолковать как гармоническое колебание со случайной амплитудой

, частотой и случайной фазой . Отметим, что согласно условиям (23) величины и будут центрированные случайные величины, т.е.

9.1. О дисперсии стационарного случайного процесса.

Имеет место, следующее утверждение.

Теорема 16.4. Дисперсия стационарного случайного процесса, представленного в виде равенства

,

где выполнены следующие условия:

при любых , постоянные числа, равно сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения:

(27) .

Доказательство. В соответствии свойства 1, пункта 16.6 получим

Заметим, что если сумма существует, то ряд сходится.

Множество значений дисперсии называют спектром стационарного случайного процесса (ССП), а ординаты этих величин – спектральными линиями, с соответствующими частотами

Спектр можно представить графически

Рисунок 63.(Письменный)

Сумма всех ординат спектра равна дисперсии случайного процесса Спектр случайного процесса определённый равенством (22) называется линейчатым дискретным с бесконечным числом равноотстоящих спектральных линий. Расстояние между соседними линиями по частоте равно

---

Смотрите также файлы

• 18-19 с рисунками.doc

• 18-19.doc

• 13-15_ГОТОВЫЙ!!!.doc

• Экономика. Учебное пособие 2011.doc

• Мет.Проект.АТП.doc