Аппроксимация выборки случайных чисел методом наименьших квадратов

Пусть надо аппроксимировать случайную выборку значений f_i в точках x_i. Если предполагается, что вид нашей выборки приблизительно линейный, то в качестве аппроксимационной зависимости можно выбрать линейную функцию y = a*x + b.

Получим коэффициенты a и b методом наименьших квадратов.

Запишем сумму квадратов отклонений нашей функции f_i от аппроксимационных значений y_i = a*x_i + b

(1)

Сумма квадратов отклонений S зависит от коэффициентов a и b. Нам необходимо найти такие а и b, при которых S минимально. Запишем условия минимума функции S(a,b) по переменным a и b:

, (2)

Из условий (2) следуют два уравнения на коэффициенты a, b.

(3)

(4)

Из системы (3), (4) легко получить значения коэффициентов a и b.

Пример алгоритма аппроксимации выборки случайных чисел методом наименьших квадратов на естественном языке:

1. Задаем начальные данные для аппроксимации: границы отрезка x₀ и x_n, количество узлов координатной сетки n, шаг сетки h, массив значений координат сетки z(n) и массив значений выборки случайных чисел f(n).

2. Графически изображаем выборки случайных чисел f(n) на отрезке от x₀ до x_n с шагом sh.

3. Задаем нулевые значения вспомогательным переменным s₁=0, s₂=0 s₃=0 s₄=0 s₅=0.

4. Задаем цикл по i от 1 до n.

5. Вычисляем в цикле s₁=s₁+x(i)^2; s₂=s₂+x(i); s₃=s₃-f(i)*x(i); s₅=s5-f(i).

6. Конец цикла по i.

7. Задаем s₄=s₂.

8. Вычисляем коэффициенты прямой a и b: a=-(s₃/s₂-s₅/n)/(s₁/s₂ -s₄/n) и b=-s₃/s₂-a*s₁/s₂.

9. Вычисляем значение аппроксимирующей прямой в точках x₀ и x_n: f₁=a*x₀+b и f₂=a*x_n+b.

10. Графически изображаем аппроксимирующую прямую.

11. Выводим на экран значения коэффициентов прямой a и b.

12. Конец программы.

Пример реализации линейной аппроксимации выборки случайных чисел методом наименьших квадратов на VFP:

SET DECIMALS TO 10

n=100

DIMENSION f(n),z(n)

h=0.1

FOR i=1 TO n

z(i)=(i-1)*h

x=z(i)

f(i)= func1(x)

ENDFOR

x0=0.05

xn=2

sh=0.05

x1=x0

f1 = func1(x1)

_screen.Cls

FOR x=x0 TO xn STEP sh

x2=x+sh

f2 = func1(x2)

_screen.Line(xe(x1),ye(f1),xe(x2),ye(f2))

x1=x2

f1=f2

ENDFOR

a=0

b=0

метод_наименьших_квадратов(@f,@z,n,@a,@b)

f1=a*x0+b

f2=a*xn+b

_screen.Line(xe(x0),ye(f1),xe(xn),ye(f2))

? a,b

procedure метод_наименьших_квадратов

PARAMETERS f,x,n,a,b

s1=0

s2=0

s3=0

s4=0

s5=0

FOR i=1 TO n

s1=s1+x(i)^2

s2=s2+x(i)

s3=s3-f(i)*x(i)

s5=s5-f(i)

ENDFOR

s4=s2

a=-(s3/s2-s5/n)/(s1/s2 -s4/n)

b=-s3/s2-a*s1/s2

RETURN

FUNCTION func1

PARAMETERS x

RETURN 2*x+0.5+0.4*RAND()

FUNCTION xe

PARAMETERS x

RETURN 50 + x*400

FUNCTION ye

PARAMETERS y

RETURN 400 - y*150

Данная реализация алгоритма для графического изображения значений выборки случайных чисел f(x) и аппроксимирующей прямой использует метод line(x1,y1,x2,y2) объекта _screen.

Пример реализации линейной аппроксимации выборки случайных чисел методом наименьших квадратов на VBA:

Sub MNK_Test()

Dim f(100), z(100)

Set xlSheet = Application.ActiveSheet

n = 100

h = 0.1

For i = 1 To n

z(i) = (i - 1) * h

x = z(i)

f(i) = func1(x)

Next i

x1 = 0.05

f1 = func1(x1)

sh = 0.05

xlSheet.Cells(1, 1).Value = x1

xlSheet.Cells(1, 2).Value = f1

i = 1

For x = 0.05 To 2 Step sh

i = i + 1

x1 = x + sh

f1 = func1(x1)

xlSheet.Cells(i, 1).Value = x1

xlSheet.Cells(i, 2).Value = f1

Next x

a = 0

b = 0

MNK f, z, n, a, b

x1 = 0.05

f2 = a * x1 + b

xlSheet.Cells(1, 3).Value = f2

i = 1

For x = 0.05 To 2 Step sh

i = i + 1

f2 = a * x + b

xlSheet.Cells(i, 3).Value = f2

Next x

---

Debug.Print "a= " & Format(a, "00.000 000 000") & " : b= " & Format(b, "00.000 000 000")

Call AddChart("C1", "C2", "C3")

End Sub

Sub MNK(fd, xd, n, a, b)

s1 = 0

s2 = 0

s3 = 0

s4 = 0

s5 = 0

For i = 1 To n

s1 = s1 + xd(i) ^ 2

s2 = s2 + xd(i)

s3 = s3 - fd(i) * xd(i)

s5 = s5 - fd(i)

Next i

s4 = s2

a = -(s3 / s2 - s5 / n) / (s1 / s2 - s4 / n)

b = -s3 / s2 - a * s1 / s2

End Sub

Function func1(x)

func1 = 2 * x + 0.5 + 0.4 * Rnd()

End Function

Sub AddChart(Col1, Col2, Col3)

ASheetName = Application.ActiveSheet.Name

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmooth

' ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets(ASheetName).Range("A1")

ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries

ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries

ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues = "=" & ASheetName & "!" & Col1

ActiveChart.SeriesCollection(1).Values = "=" & ASheetName & "!" & Col2

ActiveChart.SeriesCollection(1).Name = "=""f(x)"""

ActiveChart.SeriesCollection(2).XValues = "=" & ASheetName & "!" & Col1

ActiveChart.SeriesCollection(2).Values = "=" & ASheetName & "!" & Col3

ActiveChart.SeriesCollection(2).Name = "=""g(x)"""

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:=ASheetName

ActiveChart.SeriesCollection(2).ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers

ActiveChart.SeriesCollection(1).Select

ActiveChart.ChartArea.Select

End Sub

В данной реализации для графического изображения значений выборки случайных чисел f(x) и аппроксимирующей прямой (g(x)) используются средства построения графиков MS EXCEL. Значения x , f(x) и g(x) заносятся в ячейки первых трех колонок рабочего листа:

xlSheet.Cells(i, 1).Value = x1

xlSheet.Cells(i, 2).Value = f1

xlSheet.Cells(i, 3).Value = g1

и в конце программы для построения графика вызывается метод AddChart(Col1, Col2, Col3).

---

Смотрите также файлы

• Cлучайные величины.doc

• А.Т. Зуб Управление проектами.pdf

• Тема 7 Экономический эффект.pdf

• Тема 6 Создание рабочей группы инновационного проекта .docx

• Тема 5 Организация управления инновационным проектом.docx